Magi, Mystik, og Matrix

Edward Witten*

Indhold:

Indledning
1/r² Singulariteten
Kvantefeltteori
Kvantegravitation
Strengteorierne
M-teori
Forslag til læsning

Indledning

I det tyvende århundrede har eftersøgningen af dybere forståelse af naturens love stort set drejet sig om udviklingen af to mægtige teorier: nemlig, almen relativitet og kvantemekanik.
    Almen relativitet er, selvfølgelig, Einsteins teori ifølge hvilken, gravitation er resultatet af rummets og tidens krumning; det matematiske skelet er Rieman geometri. Medens man tidligere forstod rumtiden som en fast arena, givet fra begyndelsen, i hvilken fysikken udfolder sig, udvikler rumtiden sig i almen relativitet dynamisk i henhold til Einstein ligningerne. En del af fysikkens problem er, givet begyndelsesforholdene som input, hvordan rumtiden vil udvikle sig i fremtiden.
    Den almene relativitets indflydelse på det tyvende århundredes matematik har været klar nok. At lære, at Rieman geometri er så central i fysik, gav et stort skub til dens vækst som et matematisk emne; den udviklede sig til en af de mest frugtbare grene af matematikken med anvendelser på mange andre områder.
    Mens almen relativitet i fysikken bruges til at forstå adfærden af astronomiske legemer og universet som helhed, bruges kvantemekanik primært til at forstå atomer, molekyler og subatomare partikler. Kvanteteori har haft en meget mere kompleks historie end almen relativitet og i en vis forstand tilhører det meste af dens indflydelse på matematik det enogtyvende århundrede. Kvanteteorien om partikler - som mere alment kaldes ikke-relativistisk kvantemekanik - blev sat i sin moderne form i 1925 og har haft stor indflydelse på udviklingen af funktionsanalyse og andre områder.
    Men den dybere del af kvanteteori er kvanteteorien for felter, som opstår, når man prøver at kombinere kvantemekanik med speciel relativitet (forgængeren til almen relativitet i hvilken, lysets hastighed er den samme i enhver inertiramme, men rumtiden er stadig flad og givet fra begyndelsen). Denne meget vanskeligere teori, udviklet fra sent i 1920’erne til nutiden, omfatter det meste af, hvad vi ved om fysikkens love, undtaget gravitation. I dens halvfjerds år har der været mange milesten, strækkende sig fra teorien om “antistof”, som dukkede frem omkring 1930, til en mere præcis beskrivelse af atomer, som kvantefeltteori gav i 1950, til “partikelfysikkens standardmodel” (der styrer de stærke, svage og elektromagnetiske vekselvirkninger), som dukkede frem i de tidlige 1970’ere, til nye forudsigelser i vor egen tid, som man håber at afprøve i nuværende og fremtidige acceleratorer.
    Kvantefeltteori er et meget rigt emne for matematik såvel som fysik. Men dens udvikling i de sidste halvfjerds år har hovedsageligt været udført af fysikere og den er stadig i det store og hele udenfor rækkevidde som en streng matematisk teori trods vigtige anstrengelser i konstruktiv feltteori. Så det meste af dens betydning for matematikken er endnu ikke blevet mærket. Alligevel bliver der i mange områder af matematikken studeret opgaver, der i virkeligheden har deres mest naturlige rammer i kvantefeltteori. Eksempler inkluderer Donaldson teori om fire-manifolder, Jones polynomium om knuder og dets almindeliggørelser, spejlsymmetri af komplekse manifolder, elliptisk cohomologi og mange sider af studiet af affine algebraer.

I en vis udstrækning studeres disse opgaver stykkevis, med vanskeligheder med at forstå relationerne blandt dem, fordi deres naturlige hjem i kvantefeltteori ikke nu er del af den matematiske teori. For at lave en grov analogi har man her en enorm bjergkæde, hvoraf det meste stadig er dækket af tåge. Kun de højeste tinder, som når over skyerne, ses i dagens matematiske teorier og disse glimrende toppe studeres i isolation, fordi over skyerne er de isolerede fra hinanden. Stadig tabt i tågen er bjergkædens krop, som er dens kvantefeltteori klippegrund og størstedelen af de matematiske skatte.
    Så der er en temmelig sikker, skønt måske tilsyneladende provokerende, forudsigelse om det enogtyvende århundredes matematik: at prøve at få tag på kvantefeltteori vil være et af hovedtemaerne.

1/r² Singulariteten

For at se lidt længere end det, skal vi diskutere kvantemekanik i lidt mere dybde. Oprindelsen og den efterfølgende udvikling af kvantemekanikken afhang meget af gravitationens og elektricitetens “omvendte kvadrat lov”. Gravitationskræfterne mellem to masser M₁ og M₂ adskilt af en afstand r er

(med G værende Newtons konstant) og den elektriske kraft mellem to ladninger q₁ og q₂ adskilt af en afstand r er på samme måde

For elementarpartikler har man typisk, at q₁q₂ > GM₁M₂, som er grunden til, at gravitationen alment kan ignoreres på en atomar skala og derunder, men for astronomiske legemer gælder det typisk, at GM₁M₂ > q₁q₂, så gravitationen dominerer på store skalaer.
    Det er indlysende, at loven om det omvendte kvadrat betyder, at kraften bliver uendelig for r → 0. Denne singularitet forårsagede ikke store vanskeligheder for Newton, da (for eksempel) Månen altid var på en sikker afstand af Jorden, langt fra r = 0. Da elektronen og atomkernen imidlertid blev opdaget for næsten et århundrede siden, blev 1/r² singulariteten et alvorligt problem. En enkel beregning baseret på det nittende århundredes fysik viste, at på grund af den stærke kraft ved lille r burde elektronen flyve i en spiral ind i kernen på omkring 10^-9 sekund. Det var indlysende, at det ikke var tilfældet.
    For at kurere dette problem blev kvantemekanik opfundet. I kvantemekanik kommuterer en partikels position x og bevægelsesmængde p ikke, men de adlyder Heisenbergs forhold

,

Med værende Plancks konstant. Dette forhold giver en slags “slørethed” til elektronen og andre partikler. På grund af denne slørethed kommer man aldrig til r = 0. Og problemet undgås.
    Det jeg lige har beskrevet er ikke-relativistisk kvantemekanik - eller partiklers kvantemekanik, som jeg kaldte den før. Denne teori blev udviklet omkring 1925 og er for længe siden blevet mere eller mindre assimileret matematisk. Hele teorien om elliptiske operatorer på manifolder er en slags matematisk modstykke til ikke-relativistisk kvantemekanik; gruppe-repræsentationsteori er også en nær fætter.

Kvantefeltteori

Men at prøve at tage højde for speciel relativitet gør tingene meget mere udfordrende. I speciel relativitet kan man ikke antage den “øjeblikkelige virkning på afstand,” der er underforstået i gravitationens og elektricitetens omvendt kvadrat love. I stedet skal kraften istandbringes af et felt og hele strukturens konsistens kræver, at en ubestemthedsrelation analog med Heisenberg formlen [p,x] = -i skal anvendes på feltet. Så bliver tingene meget mere komplicerede og meget mere interessante. Fra ubestemthedsrelationen udleder man, at feltet kommer i “kvanter,” der observeres som en ny slags partikler - fotoner i tilfælde af det elektromagnetiske felt. De mere velkendte partikler, som elektronen, skal på samme måde gentolkes som et felts kvanter. Man opdager snart, at, som klassiske elektromagnetiske bølger, kan disse kvanter skabes og tilintetgøres. Dette fører til begrebet antistof og forudsigelsen af stof-antistof skabelse og tilintetgørelse. På dette tidspunkt lever man i en verden, der er meget mere overraskende og interessant og bestemt meget mere udfordrende matematisk.
    Skønt kvantemekanik blev opfundet på grund af 1/r² singulariteten, viste det sig, at når speciel relativitet blev inkluderet, kurerede kvantemekanikken ikke automatisk alle de problemer, der var associeret med den singularitet. Meget af fysikkens udvikling siden 1930 havde at gøre med 1/r² problemet i lyset af kvantemekanik plus speciel relativitet. Blandt milestenene, nogle af hvilke jeg før har hentydet til, var følgende:

• Omkring 1950 gav renormaliseringsteori og kvanteelektrodynamik en meget mere præcis teori om elektroner og atomer.
• I 1967-73 blev ikke-abelske gaugeteorier indarbejdet i beskrivelsen af naturen (hvilket gav den elektrosvage del af standardmodellen) for at overvinde problemet med 1/r² singulariteten i tilfældet med svage vekselvirkninger.
• I 1973 blev asymptotisk frihed af ikke-abelske gaugeteorier opdaget og brugt til at overvinde og helt tæmme 1/r² problemet i tilfældet med kernekraften. Dette fuldendte også konstruktionen af standardmodellen.

Disse sidste udviklinger satte scenen for en ny slags vekselvirkning mellem kvantefeltteori og geometri. Ikke-abelske gaugeteorier, med tiden suppleret af andre ingredienser, som jeg endnu ikke har nævnt, mest bemærkelsesværdigt supersymmetri og strengteori, ledte fysikerne til gradvist at stille nye slags spørgsmål, der involverede geometriske begreber og teknikker, som ikke tidligere var brugt i fysik. Med tiden erkendte man, at tingene kunne vendes rundt og at kvantefeltteori-metoderne kunne bruges til at drage slutninger om geometri. Og derfor er det sådan, at skønt kvantefeltteori er et temmelig gammelt emne, er dets matematiske indflydelse i mange henseender temmelig ny og ligger hovedsagelig stadig i fremtiden.

Kvantegravitation

De udviklinger jeg allerede har beskrevet, som førte til standard modellen for partikelfysik, placerede mere eller mindre de kendte fænomener i fysik, undtaget gravitation, under et tag. Den vigtigste forhindring, der er tilbage er, at inkludere gravitation, men dette involverer problemer af en helt forskellig natur. Ved første øjekast præsenterer gravitation os for blot et andet tilfælde af den velkendte 1/r² singularitet. Gravitation og elektricitet er virkelig meget ens på mange måder, men forholdet mellem dem er ikke nær så ligefremt, som det antydes af den kendsgerning, at i klassisk fysik styres de begge af omvendt kvadrat love. Relativistisk, for eksempel, er elektromagnetismens feltligninger (Maxwells ligninger) lineære, mens Einsteins ligninger for gravitationsfeltet er yderst ikke-lineære. Kvanteslørethed, som udspringer fra ubestemthedsrelationen [p,x] = -i , er tilsyneladende ikke nok til at behandle 1/r² singulariteten i gravitationskraften. At overvinde dette problem - at kombinere kvantemekanik og gravitation - er sandsynligvis den vigtigste hindring i at forene naturens kræfter.

At få noget fornuftigt ud af kvantemekanik er også essentielt for at behandle mange almindelige spørgsmål, som man godt kan stille uden nogen speciel træning i fysik. Astronomer, for eksempel, ser, at universet ekspanderer i dag, og så vidt vi kan sige, begyndte denne ekspansion i en eksplosion, ofte kaldet big bang. Men overvejelse af big bang kan synes at præsentere paradokser. Hvad startede urene? Hvad var der før big bang? Gravitation og kvantemekanik var begge vigtige nær big bang, så svarene må afhænge af, hvordan gravitation og kvantemekanik arbejder sammen.
    Fysikere opdagede temmelig uventet, begyndende i de tidlige 1970’ere, at problemet med kvantegravitation kunne overvindes ved at indføre en ny slags slørethed. Man udskifter “punktpartikler” med “strenge”. Selvfølgelig skal punktpartiklerne og strengene begge behandles kvantemekanisk. Kvantevirkninger er proportionale med Plancks konstant , og strengagtige virkninger er proportionale med en ny konstant (lig med omtrent (10^-32cm)², der bestemmer størrelsen af strenge. I denne teori bidrager strengagtighed og kvanteubestemthed begge til at smøre tingene ud; sammen tæmmer de gravitationens 1/r² singularitet.
    Hvis strengteori er korrekt, så er lige så fundamental i fysik som og dens virkninger er mindst lige så interessante. og deformationerne involverer begge fundamentale nye værktøjer og ideer i geometri. Om deformationen har vi stor erfaring og temmelig udstrakt ikke-streng viden vedrørende nogle af de geometriske anvendelser, skønt, som jeg forklarede før, den matematiske udvikling stadig stort set ligger i fremtiden. deformationen er langt mere mystisk og udfordrende selv for fysikere, da de grundlæggende værktøjer og begreber endnu ikke er blevet frilagt. At søge at gøre det er måske det mest spændende eventyr i teoretisk fysik i de næste få årtier. De matematiske spørgsmål, der stilles af deformationen, er i det mindste begyndt at blive stillet, skønt svarene hovedsagelig stadig ligger forude, men de ligeså spændende matematiske spørgsmål forbundet med deformationen bliver for størstedelens vedkommende slet ikke stillet. Grunden til det er helt enkelt, at den grundlæggende forudsætning for at forstå, hvad deformationen skal betyde, er en grundig fortrolighed med deformationen og den er endnu ikke til rådighed matematisk.
    Ideen, at erstatte punktpartikler med strenge, lyder så naiv, at det kan være svært at tro, at den er virkelig fundamental. Men i virkeligheden er dette naivt-lydende skridt sandsynligvis lige så grundlæggende som indførelsen af komplekse tal i matematik. Hvis de reele og komplekse tal betragtes som reele vektorrum, har man dim_R(R) = 1, dim_R(C) = 2. En punktpartikels kredsløb i rumtiden er endimensionalt og bør betragtes som en reel manifold, mens en strengs kredsløb i rumtiden er todimensionalt (over reelerne) og bør betragtes som en kompleks Riemann overflade. Fysik uden strenge er groft analog til matematik uden komplekse tal.

Strengteorierne

Kvantemekanikkens plus speciel relativitets krav er så stramme, at det historisk var meget svært at konstruere strengteorier. Betingelserne, der skal adlydes, er yderst overbestemte. En enorm anstrengelse gik ind i konstruktionen af strengteorier og ved den tid støvet lagde sig i 1984-85 fandt man, at der var fem af dem. De adskiller sig fra hinanden ved meget generelle egenskaber ved strengene:

• I to teorier (Type IIA og Type IIB teorierne, som adskiller sig fra hinanden ved hvorvidt, der er uforanderlighed under omvending af rumtidens retning) er strengene lukkede og orienterede og elektriske isolatorer.
• I to teorier (de heterote superstrenge med gauge grupper SO(32) og E₈ x E₈) er strengene lukkede, orienterede og superledende.
• I det sidste tilfælde (Type I) er strengene uorienterede og isolerende og kan have grænser, i hvilket tilfælde de bærer elektriske ladninger på deres grænser.

Fordi der er så få strengteorier, laver strengteoriens almene rammer visse almene forudsigelser, som er udenfor rækkevidde uden strengteori:
    1. Gravitation. Hver af de fem strengteorier forudsiger gravitation (plus kvantemekanik): dvs., disse teorier forudsiger en struktur, der helt ligner almen relativitet på lange afstande, med korrektioner (uheldigvis umåleligt små i praksis) proportionale med . Dette er meget slående da, som jeg har understreget, standard kvantefeltteori gør gravitation umulig. Det er den ene mest vigtige grund til det intensive studium af strengteori i den sidste generation.
    2. Ikke-abelsk gauge symmetri. Den anden almene forudsigelse er ikke-abelsk gauge symmetri (igen med umålelige små korrektioner proportionale med ), som selvfølgelig er partikelfysikkens brød og smør.
    3. Supersymmetri. Den sidste almene forudsigelse er "supersymmetri", en underfundig ny slags symmetri ved elementarpartikler. Vi ved endnu ikke om naturen er supersymmetrisk, men der er tegn (f.eks. fra nøjagtige målinger af lavenergi gauge koblinger) på, at den er. Der er en god chance for, at vi vil vide det med sikkerhed fra acceleratoreksperimenter indenfor omkring et årti. Den kendsgerning, at vi endnu ikke virkelig ved om det er rigtigt, betyder, at supersymmetri (som historisk blev opdaget, i det mindste delvist, på grund af dens rolle i strengteori) er en ægte forudsigelse af strengteori, mens gravitation og ikke-abelsk gauge symmetri (som allerede var kendt før, de blev set at være konsekvenser af strengteori) bedre kunne kaldes eftersigelser.
    At forklare supersymmetri rigtigt kræver, at man antager noget kendskab til kvantefeltteori og er derfor hinsides vort sigte her. Men som en meget grov analogi er supersymmetrisk kvanteteori til almindelig kvanteteori som forskellige former på en manifold er til funktioner på en manifold. En meget stor brøkdel af geometriske anvendelser af kvantefeltteori, som blev fundet i firserne og halvfemserne, afhænger af supersymmetri. (Eksempler inkluderer de supersymmetriske beviser for positiv energi teoremet, Atiyah-Singer index teoremet og Morse ulighederne og kvantefeltteori indfaldsvinklerne til elliptisk cohomologi og til Donaldson teori.) Dette, sammen med dens skønhed og det skub, dens opdagelse ville give til strengteori, er endnu en anden grund til at håbe, at supersymmetri vil blive fundet! Det er sikkert, at hvis supersymmetri bekræftes i acceleratorer, vil matematisk opmærksomhed blive fokuseret på denne frugtbare gren af kvantefeltteori cirka på samme måde, som opdagelsen af almen relativitet fokuserede opmærksomheden på Riemann geometri.

Bortset fra de generelle forudsigelser, jeg har understreget, fører strengteori på en enkel måde også til elegante og kvalitativt korrekte modeller, der kombinerer kvantegravitation og de andre kendte kræfter i naturen og opnår herved hovedtrækkene ved standardmodellen. For at forbedre disse konstruktioner yderligere er det mest vitale behov sandsynligvis at forstå den kosmologiske konstants (vakuets energitæthed) forsvinden (eller dens ekstreme lille størrelse) efter supersymmetribrud. Det forbliver udenfor rækkevidde.
    Skønt fysikerne ikke har nogen systematisk forståelse af de nye geometriske ideer, der er associerede med deformation, er kraftige metoder, der bruger todimensional konform feltteori, til rådighed til at udforske nogle af de associerede fænomener. Sent i 1980'erne og tidligt i 1990'erne blev megen indsats i strengteori fokuseret på at beskrive nogle af disse fænomener. Et eksempel er spejlsymmetri, en relation mellem to rumtider, der er forskellige i klassisk geometri men er ækvivalente for 0. Denne symmetri har tiltrukket megen matematisk interesse fordi, den har slående konsekvenser af hvilke, nogle kan udtrækkes fra deres naturlige konforme feltteoriomgivelser og erklæres i isolation. Nært relateret er fænomenet topologiændring. Generelt i strengteori giver spørgsmålet, Hvad er rumtidens topologi?, ikke mening, fordi generelt for 0 er klassiske ideer ikke gældende. Men i en passende grænse, ved at variere en parameter, kan klassiske ideer være en god tilnærmelse. Det blev fundet, at man sagtens kan have en familie af strengteori tilstande, der afhænger af en reel parameter t, som interpolerer mellem to forskellige rumtider i følgende forstand. For t → ∞ , er klassiske ideer i geometri en god tilnærmelse og man observerer en rumtid X. For t → -∞, er klassisk geometri igen en god tilnærmelse og man observerer en forskellig (og måske topologisk distinkt) rumtid Y. Et sted mellem stor positiv t og stor negativ t passerer man gennem et "strenget" område i hvilket, klassisk geometri ikke er en god beskrivelse og interpolationen fra X til Y finder sted.

M-teori

Medens forståelse af de nye geometriske ideer, der hersker for 0, med al sandsynlighed forbliver en opgave til det næste århundrede, er problemet i den seneste til blevet omarbejdet i en meget bredere sammenhæng. I årevis udgjorde eksistensen af fem strengteorier, skønt det betød en dramatisk indsnævring af de muligheder, der fandtes i førstreng fysik, en gåde. Det er temmelig mærkeligt at få fortalt, at der er et rigt nyt skelet for fysikken, som forener kvantemekanik og gravitation og at der i dette nye skelet er fem mulige teorier. Hvis en af disse teorier beskriver vort univers, hvem lever så i de andre fire verdener?
    Ved at lære noget om hvad der sker, når og begge er ikke-nul, har vi lært et meget tilfredsstillende svar på dette spørgsmål. De fem strengteorier, der traditionelt blev studeret, er forskellige grænsetilfælde af en rigere og endnu lidt forstået teori. For = 0 er disse teorier virkelig forskellige, men med og begge ikke-nul kan man interpolere mellem dem. Forholdet mellem dem er temmelig meget som forholdet mellem de klassiske rumtider, nævnt for to afsnit siden. Disse er distinkte i klassisk geometri - dvs. for = 0 - men for 0 er de to forskellige grænsetilfælde af en mere underfundig struktur.
    Den rigere teori, der som grænsetilfælde har de fem strengteorier, der er blevet studeret i den sidste generation, er kommet til at blive kaldt M-teori, hvor M står for magi, mystik eller matrix, ifølge smag. Magien og mystikken er klar nok, mens "matrix" refererer til en ny ikke-kommutativitet, groft analog til [p,x] = -i men meget anderledes, der synes at komme ind i teorien. Fysikere og matematikere vil sandsynligvis tilbringe meget af det næste århundrede med at komme til at forstå denne teori.

Forslag til læsning

For en introduktion til kvantefeltteori og pertubativ strengteori, kunne læseren konsultere Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, P. Deligne, P. Etinghof, D. Freed, L. Jeffrey, D. Kazhdan, D. Morrison og E. Witten, red. (American Mathematical Society). En nylig strengteori tekst (for fysikere), der behandler nogle af de ikke-pertubative såvel som pertubative udviklinger, er String Theory, Vols. I og II, af Joseph Polchinski (Cambridge University Press,1998).

* Edward Witten er professor i fysik på Institute for Advanced Study.

Denne artikel er baseret på Josiah Willard Gibbs Lecture givet ved Joint Meetings i Baltimore i januar 1998.

Fra Notices of the AMS, oktober 1998.

18. september, 2005.

Indhold
"Twistor" teori genantænder den seneste superstreng revolution
Index