|
Varmestråling
og Plancks postulat Robert Eisberg & Robert Resnick |
|
|
|
Figur
1. En sort legeme
radiators spektrale radians som funktion af strålingens frekvens, vist for
radiatortemperaturer på 1.000K, 1.500K og 2.000K. Bemærk, at frekvensen,
hvor den maksimale radians forekommer (punkteret linie), stiger lineært med
stigende temperatur og at den totale udstrålede kraft pr. kvadratmeter af
radiatoren (areal under kurven) stiger meget hurtigt med temperaturen. |
Integralet af den spektrale radians RT (v) over
alle v er den totale energi udsendt pr. tidsenhed pr. enhedsområde fra
et sort legeme ved temperaturen T. Det kaldes radiansen RT.
Det er
(1)
Som vi har set i den foregående diskussion af Figur 1, stiger RT
hurtigt med stigende temperatur. Faktisk kaldes dette resultat Stefans lov og
den blev først fremsat i 1879 i form af en empirisk ligning
(2)
hvor
kaldes Stefan-Boltzmann konstanten. Figur 1 viser også, at spektret
flytter sig mod højere frekvenser, når T stiger. Dette resultat kaldes
Wiens forskydningslov
(3)
hvor vmax er frekvensen v ved hvilken RT
(v) har sin maksimumværdi for en bestemt T. Når T
stiger forskydes vmax mod højere frekvenser. Alle disse
resultater er i overensstemmelse med de velkendte oplevelser, vi diskuterede
tidligere, nemlig, at mængden af udsendt varmestråling stiger hurtigt
(ildrageren udstråler meget mere varmeenergi ved højere temperaturer) og strålingens
hovedfrekvens bliver højere (ildrageren skifter farve fra mørkerød til
blåhvid) med stigende temperatur.
|
Figur 2. Et hulrum i et legeme, der er
forbundet med det ydre af et lille hul. Stråling, der falder på hullet,
bliver fuldstændig absorberet efter gentagne reflektioner på hulrummets
indre overflade. Hullet absorberer som et sort legeme. I den omvendte
proces, hvor strålingen, der forlader hullet, er opbygget af bidrag
udstrålet fra den indre overflade, stråler hullet som et sort legeme. |
|
Et andet eksempel på et sort legeme, som vi vil se er særlig vigtigt, kan
findes ved at overveje et objekt, der indeholder et hulrum, som er forbundet
med det ydre af et lille hul som i Figur 2. Stråling, der falder på hullet
fra det ydre, går ind i hulrummet, reflekteres frem og tilbage af dets vægge
og bliver efterhånden absorberet af disse vægge. Hvis hullets areal er meget
lille sammenlignet med arealet af hulrummets indre overflade, vil en
ubetydelig mængde af den indfaldende stråling blive reflekteret tilbage
gennem hullet. I det væsentlige absorberes al den indfaldende stråling på
hullet; derfor skal hullet have egenskaber som et sort legemes overflade. De
fleste sorte legemer, der bruges i laboratorieeksperimenter, er konstrueret
efter disse retningslinier.
Antag nu, at hulrummets vægge opvarmes
ensartet til en temperatur T. Så vil væggene udsende varmestråling,
som vil fylde hulrummet. Den lille brøkdel af denne stråling, der falder på
hullet indefra, vil passere gennem hullet. Hullet vil virke som en udsender
af varmestråling. Da hullet skal have et sort legemes overfladeegenskaber,
skal strålingen, der udsendes af hullet, have et sort legeme spektrum; men da
hullet blot tager en prøve af varmestrålingen, der er tilstede inde i
hulrummet, er det klart, at strålingen i hulrummet også må have et sort
legemes spektrum. Den vil faktisk have et sort legeme spektrum, som er
karakteristisk for væggenes temperatur T, da den er den eneste
temperatur, der er defineret for systemet. Spektret, der udsendes af hullet i
hulrummet, specificeres ved hjælp af energi fluxen RT (v).
Det er imidlertid mere nyttigt at specificere spektrummet for strålingen inde
i hulrummet, som kaldes hulrumstråling, ved hjælp af en energitæthed, px
(v), som defineres som energien indeholdt i et enhedsrumfang af
hulrummet ved temperaturen T i frekvensintervallet v til v
+ dv. Det er indlysende, at disse mængder er proportionelle med
hinanden; dvs.
(4)
Derfor har strålingen inde i et hulrum, hvis vægge er ved temperaturen T,
samme karakter som strålingen, der udsendes af et sort legemes overflade ved
temperaturen T. Det er bekvemt eksperimentelt, at frembringe et sort
legeme spektrum ved hjælp af et hulrum i et opvarmet legeme med et hul til
det ydre og det er bekvemt i teoretisk arbejde at studere sort legeme
stråling ved at analysere hulrumstrålingen, fordi det er muligt at anvende
meget generelle argumenter til at forudsige hulrumstrålingens egenskaber.
Klassisk teori om
hulrumstråling
Kort efter århundredskiftet, år 1900,
lavede Rayleigh og Jeans en beregning af energitætheden af et hulrums (eller
sort legemes) stråling, der peger på en alvorlig konflikt mellem klassisk
fysik og eksperimentelle resultater. Denne beregning er den samme som
beregninger, der opstår ved behandling af mange andre fænomener (f.eks.,
faste stoffers specifikke varme), som vi kommer til senere. Vi fremlægger
detaljerne her, men som en hjælp til at føre os gennem beregningerne
skitserer vi først den generelle procedure.
Overvej et hulrum med metalvægge, der
opvarmes jævnt til temperaturen T. Væggene udsender elektromagnetisk
stråling i varmeområdets frekvenser. Vi ved at dette sker, grundlæggende, på
grund af elektronernes accelererede bevægelse i metalvæggene, der opstår fra
varmerystelser (se Appendix B). Det er imidlertid ikke nødvendigt at studere
detaljerne ved elektronernes adfærd i hulrummets vægge. I stedet rettes
opmærksomheden mod, hvordan de elektromagnetiske bølger i hulrummets indre
opfører sig. Rayleigh og Jeans brugte følgende fremgangsmåde. Først bruges
klassisk elektromagnetisk teori til at vise, at strålingen inde i hulrummet
skal findes i form af stående bølger med knudepunkter ved metaloverfladerne.
Ved brug af geometriske argumenter laves en optælling af antallet af sådanne
stående bølger i frekvensintervallet v til v + dv for at
bestemme, hvordan antallet afhænger af v. Så bruges et resultat fra
klassisk kinetisk teori til at beregne disse bølgers totale middelenergi, når
systemet er i termisk ligevægt. I den klassiske teori afhænger den totale
middelenergi kun af temperaturen T. Antallet af stående bølger i
frekvensintervallet gange bølgernes middelenergi, divideret med hulrummets
rumfang, giver middelenergi indholdet pr. enhedsrumfang i frekvensintervallet
v til v + dv. Dette er den krævede mængde,
energitætheden rT (v). Lad os nu gøre alt dette.
|
Figur
3. Et kubisk hulrum med metalvægge og fyldt med elektromagnetisk
stråling viser tre komponenter af strålingen, som ikke vekselvirker. De
springer frem og tilbage mellem væggene og danner stående bølger med knuder
ved hver væg. |
|
For enkelhedens skyld antager vi, at hulrummet, med
metalvægge og fyldt af elektromagnetisk stråling, har form som en terning,
hvor kanterne har længden a, som vist i Figur 3. Så kan strålingen,
der reflekteres frem og tilbage mellem væggene, analyseres i tre komponenter
langs de tre gensidigt vinkelrette retninger, defineret af hulrummets kanter.
Da de modstående vægge er parallelle, blandes strålingens tre komponenter
ikke og vi kan behandle dem adskilt. Overvej først x komponenten og
metalvæggen ved x = 0. Al denne komponents stråling falder på væggen,
reflekteres af den og de indfaldende og reflekterede bølger kombinerer og
danner en stående bølge. Da den elektromagnetiske stråling er en tværgående
vibration med den elektriske feltvektor E vinkelret på udbredelsesretningen
og da udbredelsesretningen for denne komponent er vinkelret på væggen, er
dens elektriske feltvektor E parallel med væggen. En metalvæg kan
imidlertid ikke understøtte et elektrisk felt parallelt med overfladen, da
ladninger altid kan strømme på en sådan måde, at de neutraliserer det
elektriske felt. Derfor skal E for denne komponent altid være nul ved
væggen. Dvs., at den stående bølge forbundet med strålingens x
komponent skal have en knude (nul amplitude) ved x = 0. Den stående
bølge skal også have en knude ved x = a, fordi der ikke kan
være noget parallelt elektrisk felt i den tilhørende væg. Endvidere gælder de
samme forhold for de andre to komponenter; den stående bølge forbundet med y
komponenten skal have knuder ved y = 0 og y = a og den
stående bølge forbundet med z komponenten skal have knuder ved z
= 0 og z = a. Disse forhold sætter en begrænsning for de mulige
bølgelængder og derfor for de mulige frekvenser af den elektromagnetiske
stråling i hulrummet.
Nu vil vi overveje spørgsmålet om at
tælle antallet af stående bølger med knuder på hulrummets overflader, hvis
bølgelængder ligger i intervallet l til l + dl svarende til frekvensintervallet v
til v + dv . For at fokusere på ideerne, der er involveret i beregningen,
vil vi til at begynde med kun behandle x komponenten; dvs., at vi vil
overveje det forenklede, men kunstige, tilfælde med et ”endimensionalt”
hulrum med længden a. Efter vi har gennemarbejdet dette tilfælde vil
vi se, at proceduren til generalisering til et virkeligt, tredimensionalt
hulrum er indlysende.
Det elektriske felt for endimensionale stående bølger
kan beskrives matematisk af funktionen
E (x , t ) = E0 sin (2p x / l ) sin ( 2p v t) (6)
hvor l er bølgens bølgelængde, v er dens frekvens og E0
er dens maksimale amplitude. De to første mængder er forbundet ved ligningen
v = c/l (7)
hvor c er de elektromagnetiske bølgers
udbredelseshastighed. Ligning 6 repræsenterer en bølge, hvis amplitude har
den sinusformede variation i rummet sin (2p x /l) og som svinger sinusformet i tid
med frekvensen v som en simpel harmonisk oscillator. Da amplituden er
nul til alle tider t for positioner, der tilfredsstiller forholdet
2x/l = 0, 1, 2, 3, . . .
(8)
har bølgen faste knuder; dvs., den er en stående bølge.
For at opfylde kravet, at bølgerne har knuder i begge ender af det
endimensionale hulrum, vælger vi x aksens udspring til at være ved den
ene ende af hulrummet (x = 0) og kræver så, at i den anden ende (x
= a)
2x/l = n
for x = a
(9)
hvor
n = 1, 2, 3, 4, . . .
|
|
|
Figur
4. Amplitudemønstrene af stående bølger i et
endimensionalt hulrum med vægge ved x
= 0 og x = a for de første tre værdier af index n. |
Denne tilstand bestemmer et sæt mulige værdier for
bølgelængden l . For disse tilladte værdier har de
stående bølgers amplitudemønster et udseende som vist i Figur 4. Man
genkender disse mønstre som de stående bølgers mønstre for vibrationer af en
snor fastgjort i begge ender, et virkeligt fysisk system, som også opfylder
(6). I vort tilfælde repræsenterer mønstrene elektromagnetiske stående
bølger.
Det er bekvemt at fortsætte
diskussionen ved hjælp af de tilladte frekvenser i stedet for de tilladte
bølgelængder. Disse frekvenser er v = c / l , hvor 2a / l = n. Det
vil sige
v = cn / 2a n = 1, 2, 3, 4, .
. . (10)
Vi kan repræsentere disse tilladte frekvensværdier ved hjælp
af et diagram, der består af en akse, hvorpå vi plotter et punkt ved hver
heltalsværdi af n. På et sådant diagram er værdien af den tilladte
frekvens v, svarende til en bestemt værdi af n, ved (10) lig
med c / 2a gange afstanden d fra udspringet til det
passende punkt, eller afstanden d er 2a /c gange
frekvensen v . Disse forhold er vist i Figur 5.
|
|
|
Figur
5. De tilladte værdier af index n, som bestemmer de tilladte værdier af frekvensen, i et
endimensionalt hulrum med længden a. |
Et sådant diagram er nyttigt til beregning af antallet
af tilladte værdier i frekvensområdet v til v + dv , som
vi kalder N (v) dv . For at vurdere denne mængde tæller
vi simpelthen antallet af punkter på n aksen, som falder mellem to
grænser, der er sat, så de svarer til frekvenserne v og v + dv
. Da punkterne er fordelt ensartet langs n aksen, er det indlysende,
at antallet af punkter, der falder mellem de to grænser, vil være
proportionalt med dv, men ikke vil afhænge af v . Faktisk er
det nemt at se, at N (v) dv = ( 2a /c ) dv
. Vi skal imidlertid gange dette med en faktor 2, da der for hver af de
tilladte frekvenser i virkeligheden er to uafhængige bølger svarende til
elektromagnetiske bølgers to mulige polarisationstilstande. Vi har så
(11)
Dette fuldender beregningen af antallet af tilladte
stående bølger for det kunstige tilfælde med et endimensionalt hulrum.
|
Figur
6. De tilladte frekvenser i et tredimensionalt hulrum
formet som en terning med kantlængde a
bestemmes af tre indekstal nx
, ny , nz , som hver kun kan
indtage heltallige værdier. For klarhedens skyld vises kun nogle få af de
mange punkter, der svarer til sæt af disse indekstal. |
|
Procedurerne for at udvide
beregningen til det virkelige tilfælde med et tredimensionalt hulrum fremgår
af ovenstående beregning. Denne udvidelse er vist i Figur 6. Her er sættet af
ensartet fordelte punkter ved heltallige værdier langs en enkelt akse n
erstattet af en ensartet tredimensional række punkter, hvis tre koordinater
findes ved heltallige værdier langs hver af de tre gensidigt vinkelrette n
akser. Hvert punkt på rækken svarer til en bestemt tilladt tredimensional
stående bølge. Heltalsværdierne nx , ny ,
og nz , angivet af hvert punkt, giver antallet af knuder på
x , y og z komponenterne af den tredimensionale bølge.
Proceduren svarer til at analysere en tredimensional bølge (dvs. en, der
udbredes i tilfældig retning) som tre endimensionale bølgekomponenter. Her er
antallet af tilladte frekvenser i frekvensintervallet v til v +
dv lig med antallet af punkter indeholdt mellem radieskaller svarende
til frekvenserne v og v + dv. Det vil være proportionalt
med rumfanget mellem disse to skaller, da punkterne er ensartet fordelt. Det
fremgår således, at N (v) dv vil være proportional med v
2dv, hvor den første faktor, v 2, er
proportional med skallernes areal og den anden faktor, dv, er
afstanden mellem dem. I eksemplet i bogen finder man
(12)
hvor V = a3, hulrummets
rumfang.
Bemærk, at der er en meget
betydningsfuld forskel mellem resultaterne opnået for tilfældet med et
virkeligt tredimensionelt hulrum og resultaterne, vi opnåede tidligere, for
det kunstige tilfælde med et endimensionelt hulrum. Faktoren v 2 ,
som findes i (12), men ikke i (11), vil vi se spille en fundamental rolle i
de følgende argumenter. Denne faktor opstår grundlæggende, fordi vi lever i
en tredimensionel verden – v's potens er én mindre end dimensionaliteten.
Skønt Planck, da han endelig løste de alvorlige uoverensstemmelser mellem
klassisk teori og eksperimenter, måtte sætte spørgsmålstegn ved visse
punkter, der var blevet betragtet som værende indlysende sande, tvivlede
hverken han eller ander, der arbejdede på opgaven, på (12). Man var, og
forbliver, generelt enige om, at (12) er gældende.
Vi har nu et tal for antal stående
bølger. Det næste trin i Rayleigh-Jeans klassiske teori om sortlegemestråling
er en vurdering af hver stående bølges, frekvens v, middel total
energi. Ifølge klassisk fysik kan en bestemt bølges energi have enhver værdi
fra nul til uendelig, hvor den aktuelle værdi er proportional med kvadratet
på størrelsen af amplitudekonstanten E0. Imidlertid laver
klassisk fysik en meget bestemt forudsigelse af middelværdien af entiteternes
energi for et system, der indeholder et stort antal fysiske entiteter af
samme slags, som er i termisk ligevægt med hinanden ved temperaturen T.
Dette gælder for vort tilfælde, idet mangfoldigheden af stående bølger, der
udgør varmestrålingen inde i hulrummet, er entiteter af samme slags, som er i
termisk ligevægt med hinanden ved temperaturen T af hulrummets vægge.
Termisk ligevægt sikres af den kendsgerning, at ethvert virkeligt hulrums
vægge altid vil absorbere og genudstråle, i forskellige frekvenser og
retninger, en lille mængde af strålingen, der falder på dem og derfor kan de
forskellige stående bølger gradvist udveksle energi som krævet for at
opretholde ligevægt.
Forudsigelsen kommer fra klassisk kinetisk
teori og kaldes loven om energiens
equipartition (ligedeling, o.a.). Denne lov erklærer, at for et system af
gasmolekyler i termisk ligevægt ved temperaturen T, er et molekyles
kinetiske middelenergi pr. frihedsgrad kT / 2, hvor k = 1,38 x
10-23 joule / 0 K og kaldes Boltzmanns konstant.
Loven gælder i virkeligheden for ethvert klasssisk system der indeholder et
stort antal entiteter af samme slags i ligevægt. I det nærværende tilfælde er
entiteterne stående bølger, som har én frihedsgrad, amplituden af deres
elektriske felt. Derfor har deres kinetiske energier i gennemsnit alle samme
værdi, kT / 2. Men hver sinusformede, svingende, stående bølge har en total
energi, som er det dobbelte af dens kinetiske middelenergi. Dette er en
almindelig egenskab ved fysiske systemer, der har en enkelt frihedsgrad, som
udfører simple harmoniske svingninger i tid; velkendte tilfælde er et pendul
eller en spiralfjeder. Således har hver stående bølge i hulrummet, ifølge den
klassiske ligedelingslov, en total middelenergi
(16)
Det vigtigste punkt at bemærke er, at den totale middelenergi
forudsiges at have samme værdi for alle stående bølger i hulrummet,
uafhængigt af deres frekvenser.
Energien pr. enhedsrumfang i
frekvensintervallet v til v + dv af et hulrums
sortlegemespektrum ved temperaturen T er blot middelenergien pr.
stående bølge gange antallet af stående bølger i frekvensintervallet,
divideret med hulrummets rumfang. Fra (15) og (16) får vi derfor til slut
resultatet
(17)
Dette er Rayleigh-Jeans formlen for
sortlegemestråling.
|
|
|
Figur
7. Rayleigh-Jeans forudsigelsen (punkteret linie)
sammenlignet med de eksperimentelle resultater (optrukket linie) for
energitætheden i et sortlegeme hulrum, viser den alvorlige
uoverensstemmelse kaldet den ultraviolette katastrofe. |
I Figur 7 sammenligner vi denne
lignings forudsigelser med eksperimentelle data. Uoverensstemmelsen er
indlysende. Ved de lave frekvenser nærmer det klassiske spektrum sig de
eksperimentelle resultater, men efterhånden som frekvensen bliver stor går
den teoretiske forudsigelse til det uendelige! Eksperimenter viser, at
energitætheden altid forbliver endelig, som det er indlysende, at den skal
og, at energitætheden faktisk går mod nul ved meget høje frekvenser. Den
klassiske teoris groft urealistiske adfærd ved høje frekvenser er i fysikken
kendt som den ”ultraviolette katastrofe.” Denne betegnelse antyder
betydningen af teoriens svigt.
Plancks teori om hulrumsstråling
Da han prøvede at løse modstriden mellem teori og
eksperiment blev Planck ført til at overveje muligheden af en overtrædelse af
loven om energiens ligedeling, som teorien var baseret på. Fra Figur 7 er det
klart, at loven giver tilfredsstillende resultater for små frekvenser. Vi kan
således antage
(18)
dvs., at den totale middelenergi nærmer sig kT,
når frekvensen nærmer sig nul. Modstriden ved høje frekvenser kunne ophæves,
hvis der af en eller anden grund er en afskæring så
(19)
dvs., hvis den totale middelenergi nærmer sig nul, når
frekvensen nærmer sig uendelig. Med andre ord erkendte Planck, at under de
omstændigheder, der gælder i tilfældet med sortlegemestråling, er de stående
bølgers middelenergi en funktion af frekvensen (v) og har egenskaberne, der vises af (18) og (19). Dette er i
modsætning til loven om energiens ligedeling, som tilskriver middelenergien en værdi, der er uafhængig af
frekvens.
Lad os se på oprindelsen til loven om
ligefordeling. Den opstår, grundlæggende, fra et mere omfattende resultat i klassisk
kinetisk teori kaldet Boltzmannn fordelingen. (Argumenter, der fører til
Boltzmann fordelingen, gives i Appendix C for studerende, der ikke allerede
kender den.) Her vil vi bruge en speciel form af Boltzmann fordelingen
(20)
i hvilken P(
) der sandsynligheden for at finde en given entitet i et system med energi i
intervallet mellem og + d, når antallet af energitilstande for entiteten i det interval er
uafhægig af . Systemet antages at indeholde et stort antal entiteter af samme slags i
termisk ligevægt ved temperaturen T og k repræsenterer
Boltzmanns konstant. Energierne af entiteterne i det system, vi overvejer, et
sæt simple harmoniske, svingende stående bølger i termisk ligevægt i et
sortelegeme hulrum, styres af (20).
Boltzmanns fordelingsfunktion er nært
forbundet med Maxwells fordelingsfunktion for et molekyles energi i et system
af molekyler i termisk ligevægt. Faktisk er eksponenten i Boltzmann fordelingen
ansvarlig for den eksponentielle faktor i Maxwell fordelingen. Faktoren ½, som nogle studerende måske ved også findes i Maxwell fordelingen,
skyldes den omstændighed, at antallet af energitilstande for et molekyle i
intervallet til + d ikke er uafhængigt af , men stiger proportionalt med 1/2.
Boltzmanns fordelingsfunktion giver komplet information
om energien af entiteterne i vort system, naturligvis inkluderende
energiernes middelværdi . Den sidstnævnte mængde kan opnås fra P() ved at bruge (20) til at vurdere integralerne i forholdet
(21)
Integranden i tælleren er energien, , vægtet af sandsynligheden for at entiteten vil blive fundet med denne
energi. Ved at integrere over alle mulige energier opnås energiens
middelværdi. Nævneren er sandsynligheden for at finde entiteten med enhver
energi og burde derfor have værdien én; det har den. Integralet i tælleren
kan vurderes og resultatet er netop loven for energiens ligefordeling
(22)
|
|
|
Figur
8. Øverst:
Et plot af Boltzmann sandsynlighedsfordelingen P( |
I stedet for virkeligt at gennemføre vurderingen her
vil det af hensyn til de følgende argumenter være bedre at se på den grafiske
repræsentation af P() og vist i den øverste halvdel af
Figur 8. Der er P() plottet som funktion af . Dens maksimale værdi, 1 / kT, ligger ved = 0 og værdien af P() falder jævnt med stigende og nærmer sig nul når går mod µ. Det vil sige, at det resultat, der mest sandsynligt
ville blive fundet ved en måling af , er nul. Men middelværdien af de resultater, der ville blive
fundet i et antal målinger af , er større end nul, som vist på abscissen af den øverste figur, da mange
målinger af vil føre til værdier større end
nul. Den nederste halvdel af Figur 8 viser vurderingen af fra P().
|
|
|
Figur
9. Øverst: Hvis energien |
Plancks store bidrag kom, da han erkendte, at han kunne
opnå den krævede afskæring, vist i (19), hvis han modificerede beregningen,
der fører fra P() til , ved at behandle energien som var den en adskilt variabel i
stedet for den sammenhængende variabel, som den afgjort er ud fra den
klassiske fysiks synspunkt. Kvantitativt kan dette gøres ved at omskrive (21)
til en sum i stedet for et integrale. Vi vil snart se, at dette ikke er
særlig vanskeligt at gøre, men det vil være meget mere lærerigt for os at
studere den grafiske fremstilling i Figur 9 først.
Planck formodede, at energien kun kunne antage visse adskilte
værdier, i stedet for enhver værdi, og at energiens adskilte værdier var
ensartet fordelt; dvs., han tog
= 0, D, 2 D, 3 D , 4 D, . . . . (23)
som sættet af tilladte værdier af energien. Den øverste
del af Figur 9 viser en vurdering af fra P() for et tilfælde i hvilket D << kT. I dette tilfælde er det opnåede resultat @ kT. Dvs., at man her opnår et resultat, der i det
væsentlige er lig med det klassiske resultat, fordi adskiltheden af D er meget lille sammenlignet med det energiområde kT, i hvilket P() ændrer sig betydeligt; i dette tilfælde gør det ingen forskel om er sammenhængende eller adskilt.
Den midterste del af Figur 9 viser tilfældet, i hvilket D @ kT. Her finder vi, at < kT, fordi de fleste
entiteter har energi = 0, da P() har en temmelig lille værdi ved den første tilladte ikkenul værdi D, så = 0 dominerer beregningen af s middelværdi og man opnår et mindre resultat. Adskilthedens virkning ses
imidlertid tydeligst i den nederste del af Figur 9, som viser et tilfælde, i
hvilket D >> kT. I dette tilfælde er sandsynligheden for at finde en
entitet med nogle af de tilladte energiværdier større end nul ubetydelig, da P() er yderst lille for disse værdier og det opnåede resultat er << kT.
Lad os rekapitulere. Planck opdagede,
at han kunne opnå @ kT, når forskellen mellem nærtliggende energier D er lille og @ 0 når D er stor. Da han behøvede at opnå det første resultat for små værdier af
frekvensen v og det andet resultat for store værdier af v, var
det klart, at han skulle gøre D til en stigende funktion af v. Numerisk arbejde viste ham, at han
kunne tage det enklest mulige forhold mellem D og v, der havde denne egenskab. Dvs., han antog, at disse mængder
var proportionale
D µ v
(24)
Skrevet som en ligning i stedet for en proportionalitet
er dette
D= hv
(25)
hvor h er proportionalitetskonstanten.
Yderligere numerisk arbejde tillod Planck at bestemme
værdien af konstanten h ved at finde den værdi, som fik hans teori til
at passe bedst med de eksperimentelle data. Værdien han opnåede var meget tæt
på den nu accepterede værdi
h = 6,63 x 10-34 joule-sek
Denne meget berømte konstant kaldes nu Plancks konstant.
|
|
|
Figur
10. Plancks forudsigelse af energitætheden (optrukket
linie) sammenlignet med de eksperimentelle resultater (cirkler) for et sort
legeme. Data blev rapporteret af Coblentz i 1916 og gælder ved en
temperatur på 1595K. Forfatteren bemærkede i sin skrivelse, at efter at
have tegnet spektralenergikurverne, der kom fra hans målinger, ”var det på
grund af træthed i øjnene umuligt i månedsvis derefter at give reduktionen
af data opmærksomhed.” Da data endelig blev reduceret førte de til en værdi
for Plancks konstant på 6.57 x 10-34 joule.sek. |
Formlen, som Planck opnåede for ved at vurdere den summation, der
svarer til integralet i (21), er
(26)
Da ehv/kT ® 1 + hv/kT for hv/kT ® 0, ser vi, at (v) ® kT i denne grænse som forudsagt af (18). I grænsen hv/kT
® µ, ehv/kT ® µ, og (v) ® 0 i
overensstemmelse med forudsigelsen af (19).
Formlen, som han opnåede
øjeblikkeligt for energitætheden i sortlegemespektret ved brug af hans
resultat for (v) snarere end den klassiske værdi = kT, er
(27)
Dette er Plancks sortlegemespektrum.
Figur 10 viser en sammenligning af dette resultat fra Plancks teori (udtrykt
ved hjælp af bølgelængde) med eksperimentelle resultater for en temperatur T
= 1595K. De eksperimentelle resultater er i fuldstændig overensstemmelse med
Plancks formel ved alle temperaturer.
Vi bør
huske, at Planck ikke ændrede Boltzmann fordelingen. ”Alt” hvad han gjorde
var at behandle energien af de elektromagnetiske stående bølger, der svingede
sinusformet i tid, som en adskilt i stedet for en sammenhængende mængde.
Stefans lov, (2), og Wiens
forskydningslov, (3), kan udledes fra Planck formlen. Ved at tilpasse dem de
eksperimentelle resultater kan vi bestemme værdierne af konstanterne h
og k. Stefans lov opnås ved at integrere Plancks lov over hele
spektret af bølgelængder. Man finder, at udstrålingen er proportional med den
fjerde potens af temperaturen, proportionalitetskonstanten identificeres med s, Stefans
konstant, som har den eksperimentelt bestemte værdi 5,67 x 10-8
W/m2 – K4. Wiens forskydningslov opnås ved at sætte dp
(l) / dl = 0. Vi finder lmax T =
0,2014hc / k og identificerer ligningens højre side med Wiens
eksperimentelt bestemte konstant 2,898 x 10-3 m – K. Ved brug af
disse to målte værdier og ved at antage en værdi for lysets hastighed c
kan vi beregne værdierne af h og k. Det blev faktisk gjort af
Planck og hans værdier stemmer meget godt med dem, man siden har opnået med
andre metoder.
|
|
|
Figur
11. Plancks energitæthed af sortlegemestråling ved
forskellige temperaturer som funktion af bølgelængden. Bemærk, at
bølgelængden, hvor kurven er et maksimum, falder, når temperaturen stiger. |
Brugen af Plancks strålingslov i
varmemåling
Strålingen, der
udsendes fra et varmt legeme, kan bruges til at måle dets temperatur. Hvis
man bruger total udstråling, så ved vi fra Stefan-Boltzmann loven, at
energierne udsendt af to kilder forholder sig som den fjerde potens af
temperaturen. Det er imidlertid vanskeligt at måle total udstråling fra de
fleste kilder, så vi måler i stedet radiansen over et endeligt bånd af
bølgelængder. Her bruger vi Plancks lov om stråling, der giver radiansen som
funktion af temperatur og bølgelængde. For ensfarvet udstråling af
bølgelængde l gives forholdet
mellem de spektrale intensiteter, der udsendes af kilder ved T2 K og T1
K, af Plancks lov som
Hvis T1
antages som en standard referencetemperatur, så kan T2
bestemmes i forhold til standarden fra dette udtryk ved at måle forholdet
eksperimentelt. Denne procedure bruges i International Practical Temperature
Scale, hvor gulds normale smeltepunkt antages som det faste standardpunkt,
1068C, Dvs., at et standard optisk
pyrometer er indrettet til at sammenligne den spektrale radians fra et
sort legeme ved en ukendt temperatur T > 1068C med et sort legeme
på guldpunktet. Man skal antage procedurer og teorien skal udvikles for at
tage højde for de praktiske omstændigheder, at de fleste kilder ikke er sorte
legemer og at man bruger et endeligt spektralt bånd i stedet for ensfarvet
stråling.
|
|
|
Figur 12. Skematisk diagram af et optisk pyrometer. |
De fleste
optiske pyrometre bruger øjet som detektor og kræver en stor spektral
båndbredde, så der vil være nok energi for øjet at se. Den enkleste og mest
nøjagtige type instrument, der bruges over guldpunktet, er den forsvindende
glødetråds optiske pyrometer (se Figur 12). Kilden, hvis temperatur skal
måles, afbildes på pyrometerlampens glødetråd og strømmen i lampen varieres
indtil glødetråden forekommer at forsvinde ind i kildebilledets baggrund.
Omhyggelig kalibrering og præcisionspotentiometre sikrer nøjagtig
temperaturmåling.
Et særlig
interessant eksempel den generelle
kategori af varmemåling ved brug af sortlegemestråling blev opdaget af Dicke,
Penzias og Wilson i 1950'erne. Ved brug af et radioteleskop, der arbejdede i
området fra nogle milimeters til nogle centimeters bølgelængde, fandt de, at
et sortlegemespektrum af elektromagnetisk stråling, med en karakteristisk
temperatur på omkring 3K, falder ind på Jorden med ens intensitet fra alle
retninger. Ensartetheden i retning viser, at strålingen fylder universet
ensartet. Astrofysikere betragter disse målinger som stærke vidnesbyrd til gunst
for den såkaldte big-bang teori, i hvilken universet havde form af en
meget tæt, og varm, ildkugle af partikler og stråling for omkring 1010
år siden. På grund af efterfølgende udvidelse og Doppler forskydning ville
man forvente at strålingens temperatur nu skulle være faldet til noget
lignende den observerede værdi 3K.
Plancks postulat og dets
betydninger
Plancks bidrag
kan fremsættes som et postulat som følger:
Enhver
fysisk entitet med en frihedsgrad hvis ”koordinat” er en sinusformet funktion
af tiden (dvs.,
udfører simple harmoniske svingninger) kan kun besidde totale energier
som tilfredsstiller forholdet
=
nhv
n = 0, 1, 2, 3,
. . . .
hvor v er
svingningens frekvens og h er en universel konstant.
Ordet koordinat
bruges i dets generelle forstand og kan betyde enhver mængde, som beskriver
entitetens øjeblikkelige tilstand. Eksempler er længden af en spiralfjeder,
et penduls vinkelposition og en bølges amplitude. Alle disse eksempler er
også sinusformede funktioner af tiden.
|
Figur 13. Venstre: De tilladte energier i et klassisk system,
der svinger sinusformet med frekvensen v,
er fordelt sammenhængende. Højre: De tilladte værdier er ifølge Plancks
postulat adskilt fordelt, da de kun kan antage værdierne nhv. Vi siger, at energien er
kvantiseret, hvor n er
kvantetallet for en tilladt tilstand. |
|
Et energiniveau
diagram, som vist i Figur 13, er en passende måde at illustrere adfærden hos
en entitet, der styres af dette postulat, på og det er også nyttigt til at
vise kontrasten mellem denne opførsel og det man ville forvente på grundlag
af klassisk fysik. I et sådant diagram kan vi vise hver af entitetens mulige
energitilstande med en vandret linie. Afstanden fra linien til linien for nul
energi er proportional med den totale energi den svarer til. Da entiteten
ifølge klassisk fysik kan have enhver energi fra nul til uendelig, består det
klassiske energiniveau diagram af sammenhængende linier, der strækker sig fra
nul og op. Imidlertid kan entiteten, der udfører simple harmoniske
svingninger kun have en af de adskilte totale energier =
0, hv, 2hv,
3hv . . . hvis den adlyder Plancks postulat. Dette vises med det
adskilte sæt linier i energiniveau diagrammet. Energien af entiteten, der
adlyder Plancks postulat, siges at være kvantiseret, de tilladte
energitilstande kaldes kvantetilstande og heltallet n kaldes kvantetallet.
Det er måske
faldet den studerende ind, at der er fysiske systemer, hvis opførsel
forekommer at være i tydelig uoverensstemmelse med Plancks postulat. For
eksempel udfører et almindeligt pendul simple harmoniske svingninger og
alligevel synes dette system bestemt at kunne besidde et sammenhængende
område af energier. Men før vi accepter dette argument, bør vi lave nogle
enkle numeriske beregninger vedrørende et sådant system.
Eksempel.
Et pendul
bestående af en masse på 0,01 kg er ophængt i en snor, som er 0,1 meter lang.
Lad svingningens amplitude være sådan, at snoren i sin yderste positioner har
en vinkel på 0,1 rad med lodret. Pendulets energi daler, f.eks., på grund af
friktionsvirkninger. Er det observerede fald i energi sammenhængende eller
adskilt?
Pendulets
svingningsfrekvens er
Pendulets
energi er dets maksimale potentielle energi
mgh = mgl (1 – cos q
) = 0,01 kg x 9,8 m/sec2 x 0,1 m x (1 – cos 0,1) = 5 x
10-5 joule
Pendulets
energi er kvantiseret, så ændringer i energien sker i adskilte spring af
størrelse DE = hv men
D
E = hv = 6,63 x 10-34
joule-sek x 1,6/sek = 10-33 joule
hvorimod E
= 5 x 10-5 joule. Derfor er D E / E = 2 x 10-29. For at måle
adskiltheden i energifaldet skal vi derfor måle energien bedre end to dele ud
af 1029. Det er indlysende, at selv det mest følsomme
eksperimentelle udstyr er helt ude af stand til at måle energien med den
opløsning.
Vi konkluderer,
at eksperimenter med et almindeligt pendul ikke kan afgøre, om Plancks
postulat er gældende eller ej. Det samme gælder for eksperimenter med alle
andre makroskopiske mekaniske systemer. At h er så lille gør, at
energiens kornethed er så fin, at den ikke kan skelnes fra en sammenhængende
energi. Faktisk kunne h ligeså godt være nul for klassiske systemer og
en måde at reducere kvanteformler til deres klassiske grænse på ville være at
lade h gå mod nul i disse formler. Kun hvor vi behandler systemer, i
hvilke v er så stor eller er så lille, at D =
hv er i størrelsesordenen , er vi i stand til at afprøve Plancks
postulat. Et eksempel er selvfølgelig de højfrekvente stående bølger i
sortlegemestråling. Mange andre eksempler vil blive behandlet i de følgende
kapitler.
I sin oprindelige
form var Plancks postulat ikke så vidtrækkende, som det er i den form, vi har
givet. Plancks første arbejde blev gjort ved i detaljer at behandle opførslen
af elektroner i det sorte legemes vægge og deres kobling til den
elektromagnetiske stråling inde i hulrummet. Denne kobling fører til den
samme faktor v2 , som vi opnåede i (12) fra de mere
generelle argumenter af Rayleigh og Jeans. Gennem denne kobling relaterede
Planck energien i en bestemt frekvenskomponent i sortlegemestrålingen til
energien af en elektron i væggen, som svingede sinusformet med samme frekvens
og han postulerede kun, at den svingende partikels energi er kvantiseret. Det
var først senere, at Planck accepterede ideen om, at selve de svingende
elektromagnetiske bølger var kvantiserede og
postulatet blev udbredt til at omfatte enhver entitet, hvis enkelte
koordinat svinger sinusformet.
I begyndelsen
var Planck usikker på, om hans indførsel af konstanten h kun var et
matematisk træk eller om den havde dyb fysisk betydning. I et brev til R.W.
Wood kaldte Planck sit begrænsede postulat ”en desperat handling.” ”Jeg
vidste,” skrev han, ”At spørgsmålet (om ligevægten mellem stof og stråling)
er af fundamental betydning for fysikken; Jeg kendte formlen, der gengiver
energifordelingen i det normale spektrum; en teoretisk tolkning skulle findes
for enhver pris, ligemeget hvor høj den var.” I mere end et årti forsøgte
Planck at indpasse kvanteideen i den klassiske teori. Med hvert forsøg syntes
han at vige tilbage fra sin oprindelige dristighed, men han frembragte altid
nye ideer og teknikker, som kvanteteorien senere optog. Det, der ser ud til
endeligt at have overbevist ham om hans kvantehypoteses korrekthed og dybe
betydning, var dens støtte til det definitive ved det statistiske begreb om
entropi og termodynamikkens tredje lov.
Det var i denne
periode med tvivl, at Planck var redaktør af det tyske forskningsmagasin Annalen
der Physik. I 1905 modtog han Einsteins første relativitetsafhandling og
forsvarede hårdnakket Einsteins arbejde. Derefter blev han en af den unge
Einsteins beskyttere i videnskabelige cirkler, men i nogen tid modstod han
selve de ideer om kvanteteorien for stråling, fremsat af Einstein, som
efterfølgende bekræftede og udstrakte Plancks eget arbejde. Einstein, hvis
dybe indsigt i elektromagnetisme og statistisk mekanik måske var uden lige af
nogen på den tid, så som resultat af Plancks arbejde behovet for en fejende
ændring i klassisk statistik og elektromagnetisme. Han fremmede forudsigelser
og tolkninger af mange fysiske fænomener, der senere på slående vis blev
bekræftet af eksperimenter. I det næste kapitel vender vi os mod et af disse
fænomener og følger en anden vej mod kvantemekanikken.
Fra Quantum Physics
of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Paricles, ISBN 0-471-23464-8.