|
Det beregnende univers
Seth Lloyd*
Det er ingen hemmelighed at vi er midt i en informationsbehandlende revolution baseret på elektroniske computere og optiske kommunikationssystemer. Denne revolution har transformeret arbejde, uddannelse og tænkning og har påvirket livet hos enhver person på Jorden.
De informationsbehandlende revolutioner Virkningen af den digitale revolution på menneskeheden som helhed blegner imidlertid, når den sammenlignes med virkningen af den forudgående informationsbehandlende revolution: opfindelse af den flytbare maskinskrivning. Opfindelsen af trykkepressen var en informationsbehandlende revolution af første størrelsesorden. Den flytbare maskinskrivning tillod informationen i hver bog, som engang kun var tilgængelig for de få, der besad bogens håndkopierede tekst, at være tilgængelig for tusinder eller millioner af folk. Den resulterende udbredte egenskab, at kunne læse og skrive, og udbredelsen af information transformerede samfundet fuldstændigt. Tilgang til det skrevne ord styrkede individer ikke blot i deres intellektuelle liv, men også i deres økonomiske, juridiske og religiøse liv.
På samme måde er virkningen af det trykte ord lille, når den sammenlignes med virkningen af det skrevne ord. Skrivning - opdagelsen at talte lyde kunne sættes i skreven korrespondance med mærker i ler, sten eller papir - var en enorm informationsbehandlende revolution. Eksistensen af komplicerede, hierakiske samfund med udbredt opdeling af arbejde afhænger på afgørende vis af skrivning. Skatteregnskaber figurerer tungt på de tidligste tavler med kileskrift.
Ligesom trykning er baseret på skrivning, stammer skrivning fra en af de største informationsbehandlende revolutioner i vor planets historie: Udviklingen af det talte ord. Menneskeligt sprog er en bemærkelsesværdig form for informationsbehandling, i stand til at udtrykke, tja, alt der kan lægges i ord. Menneskeligt sprog inkluderer evnen til at udføre sofistikeret analyse, som matematik og logik, såvel som de personlige beregninger ("hvis hun gør dette, vil jeg gøre det") der ligger under det menneskelige samfunds kompleksitet.
Skønt andre dyr kan ytre sig, er det ikke klart, at nogle af dem besidder den samme evne til universalt sprog, som mennesker gør. Ironisk nok er de entiteter, der besidder den nærmeste tilnærmelse til menneskeligt sprog, vore egne skabninger: digitale computere, hvis computersprog besidder en form for universalitet, som er testamenteret dem af menneskeligt sprog. Det er den sociale organisation, der stammer fra menneskeligt sprog (sammen med skriftligt sprog, det trykte ord, computere, etc.), der har gjort menneskelige skabninger så succesfulde som art, i den udstrækning, at størstedelen af planetens resourcer nu er organiserede for mennesker af mennesker. Hvis andre arter kunne tale ville de sandsynligvis sige, "Hvem beordrede det?"
Før vi vender os mod endnu tidligere informationsbehandlende revolutioner er det værd at sige nogle få ord, om hvordan det menneskelige sprog blev til. Hvem "opdagede" det menneskelige sprog? Fossile optegnelser kombineret med nyligt afslørede genetiske vidnesbyrd antyder, at det menneskelige sprog måske er opstået for mellem 50 og 100.000 år siden i Afrika. Fossile kranier antyder, at menneskelige hjerner gennemgik en betydelig ændring i den tidsperiode, hvor størrelsen på cortex udvidede sig ti gange. Resultatet var vor art, Homo sapiens: "menneske med viden" (bogstaveligt, "menneske med smag"). Genetiske vidnesbyrd antyder, at alle kvinder, der lever idag, deler mitokondrisk DNA (videregivet fra mor til datter) med en enkelt kvinde, som levede i Afrika for omkring 70.000 år siden. På samme måde deler alle mænd et Y kromoson med en mand, der levede på omkring samme tid.
Hvilken evolutionær fordel besad denne Adam og Eva, som tillod dem at befolke verden med deres afkom? Det er plausibelt, at de besad en enkelt mutation eller en tilfældig kombination af DNA, som tillod deres afkom at tænke og drage fornuftslutninger på en ny og mere kraftfuld måde (Chomsky et al., 2002). Noam Chomsky har foreslået, at denne måde at drage slutninger på bør identificeres med rekursion, evnen til at konstruere hierakier af hierakier, som ligger ved roden af både menneskeligt sprog og matematisk analyse. Da evnen til at drage slutninger først var dukket op i arten, siger teorien, så var individer, der besad denne evne, bedre tilpssede til deres umiddelbare omgivelser og faktisk, til alle andre omgivelser på planeten. Vi er efterkommerne af disse individer.
Når man kan drage slutninger, ræsonnere, er der et mægtigt pres på at udvikle en form for ytringer, der indeholder den slutning. Grupper af Homo sapiens, som kunne bygge videre på deres måde at tale på for at afspejle deres fornuftslutninger, ville have haft væsentlig evolutionær fordel frem for andre grupper, som var ude af stand til kompleks kommunikation og som derfor ikke kunne omsætte deres tanker til fællesaktion.
Jeg fremlægger denne plausible teori om sprogets oprindelse og om vor art for at vise, at informationsbehandlende revolutioner ikke behøver at blive startet af menneskelige skabninger. "Opdagelsen" af en ny måde at behandle information på kan opstå organisk ud af en ældre måde. Det ser ud til, at da pattedyrenes hjerne først havde udviklet sig så gav nogle få mutationer anledning til evnen at kunne resonnere rekursivt. Da først det kraftige informationsbehandlende maskineri i hjernen var tilstede kunne sproget udvikle sig tilfældigt, koblet med naturlig selektion.
Lad os nu vende tilbage til historien om informationsbehandlingens revolutioner. En af de mest revolutionære former for informationsbehandling er sex. Den oprindelige sexuelle revolution (ikke den fra 1960'erne) skete for nogle milliarder år siden, da organismer lærte at dele og udveksle DNA. Til at begynde med kan sex ligne en dårlig ide: når man reproducerer sexuelt giver man aldrig sit genom videre intakt. Halvdelen af ens DNA kommer fra ens moder og halvdelen fra ens fader. Det hele bliver blandet godt i den proces der kaldes rekombination. I kontrast hertil giver asexuelt reproducerende organismer deres fuldstændige genom videre bortset fra nogle få mutationer. Så selv om man besidder en sandt fantastisk kombination af DNA, vil ens afkom, når man reproducerer sexuelt, måske ikke besidde den kombination. Sex blander sig i succes.
Så hvorfor er sex en god ide? Nøjagtigt fordi den blander forældrenes DNA, forøger sexsuel reproduktion dramatisk evolutionens potentielle hastighed. Fordi blandingen, der er involveret i rekombination, åbner sexuel reproduktion en enorm variation af genetiske kombinationer for ens afkom, kombinationer der ikke er til rådighed for organismer, som stoler alene på mutation for at frembringe genetisk variation. (Desuden gælder det, at hvor de fleste mutationer er skadelige, sikrer rekombination at levedygtige gener rekombineres med andre levedygtige gener.) For at sammenligne de to former for reproduktion, sexuel og asexsuel, overvej det følgende eksempel: ved at beregne antallet af genetiske kombinationer der kan frembringes, er det ikke vanskeligt at vise, at en lille by på 1000 mennesker, som reproducerer sexuelt med en generationstid på 30 år, frembringer den samme mængde genetisk variation som en kultur på en trillion bakterier, der reproducerer asexuelt hver 30 minutter.
Sex bringer os tilbage til moderen af alle informationsbehandlingsrevolutioner: selve livet. Hvordan det end kom i stand, er mekanismen med at opbevare genetisk information i DNA og reproducere med variation en sandt bemærkelsesværdig "opfindelse," der gav anledning til den smukke og rige verden omkring os. Hvad kunne være mere majestætisk og vidunderligt? Livet er med sikkerhed den originale informationsbehandlende revolution.
Eller er den? Livet opstod på Jorden på et tidspunkt i de sidste fem milliarder år (af den simple grund at selve Jorden kun har været her så længe). Men selve universet er lidt mindre end fjorten milliarder år gammelt. Var de mellemliggende ni milliarder år helt fri for informationsbehandlende revolutioner?
Svaret på dette spørgsmål er "Nej." Livet er ikke den originale informationsbehandlende revolution. Den allerførste informationsbehandlende revolution, fra hvilken alle andre revolutioner stammer, begyndte med begyndelsen af selve universet. Big bang ved tidens begyndelse bestod af enorme mængder elementarpartikler, som kolliderede ved temperaturer på milliarder af grader. Hver af disse partikler bar med sig bits af information og hver gang to partikler sprang af på hinanden blev disse bits transformeret og behandlet. Big bang var et bit bang. Begyndende fra dets allertidligste øjeblikke behandlede hvert stykke af universet information. Universet beregner. Det er denne igangværende beregning af selve universet der naturligt gav anledning til efterfølgende informationsbehandlende revolutioner som liv, sex, forstand, sprog og elektroniske computere.
Det beregnende univers Ideen, at universet er en computer, kan til at begynde med synes kun at være en metafor. Vi bygger computere. Computere er de definerende maskiner fra vores æra. Som konsekvens erklærer vi, at universet er en computer på samme måde som Oplysningens tænkere erklærede, at universet er det første urværk. Der er to svar på denne forsikring, at det beregnende univers er en metafor. Det første svar er, at selv taget som metafor har det mekanistiske paradigme for universet vist sig at være utroligt succesfuldt. Fra sit oprindelse for næsten et halvt årtusinde siden har det mekanistiske paradigme givet anledning til fysik, kemi og biologi. Hele den moderne videnskab og ingeniørvirksomhed kommer fra det mekanistiske paradigme. At tænke på universet som ikke blot en maskine men også som en maskine, der beregner, er en potentielt kraftfuldt udstrækning af det mekanistiske paradigme.
Det andet svar er, at påstanden, universet beregner, er håndgribeligt sand. Faktisk blev den videnskabelige demonstration, at alle atomer og elementarpartikler registrerer bits af information og at hver gang to partikler kolliderer så transformeres og behandles disse bits, givet ved slutningen af det nittende århundrede, længe før computere beskæftigede folks sind. Begyndende i 1850'erne udledte James Clerk Maxwell i Cambridge og Edinburgh, Ludwig Bolzmann i Wien og Josiah Willard Gibbs på Yale den matematiske formel, der karakteriserede den fysiske mængde kaldet entropi (Ehrenfest og Ehrenfest, 2002). Forud for deres arbejde var entropi kendt som en mystisk termodynamisk mængde, som klæbede til dampmaskiners arbejde og forhindrede dem i at udføre så meget arbejde som de ellers måske kunne. Maxwell, Bolzmann og Gibbs ønskede at finde en definition ved hjælp af atomers mikroskopiske bevægelser. Formlen, de udledte, viste, at entropi var proportional med antallet af bits af information registreret af disse atomer i deres bevægelser. Så udledte Bolzmann den ligning, der bærer hans navn, for at beskrive, hvordan disse bits blev transformerede og skiftet, når atomer kolliderer. I grunden behandler universet information.
Den videnskabelige opdagelse, at universet beregner, kom længe før den formelle og praktiske ide om en digital computer. Det var ikke før midten af det tyvende århundrede, med Claude Shannons og andres arbejde, at tolkningen af entropi som information blev klar (Shannon og Weaver, 1963). Mere nyligt, i 1990'erne viste forskere nøjagtigt, hvordan atomer og elementarpartikler beregner på det mest fundamentale niveau (Chuang og Nielsen, 2000). Især viste disse forskere hvordan elementarpartiler kunne programmeres til at udføre konventionelle digitale beregninger (og, som det vil blive diskuteret nedenfor, også at udføre yderst ukonventionelle beregninger). Det vil sige, at ikke blot registrerer og behandler universet information på dets mest fundamentale niveau, som det blev opdaget i det nittende århundrede, det er bogstaveligt en computer: et system der kan programmeres til at udføre arbitrære digitale beregninger.
Man spørger måske, Hvad så? Trods alt beskriver de kendte fysiklove resultaterne af eksperimenter med udsøgt nøjagtighed. Hvad får vi ud af den kendsgerning, at universet beregner, som vi ikke allerede ved?
Fysikkens love er elegante og nøjagtige og vi bør ikke kassere dem. Ikke desto mindre er de begrænsede i, hvad de forklarer. Især, når man ser ud af vinduet ser man planter og dyr, bygninger, biler og banker. Hvis man vender teleskopet mod himlen ser man planeter og stjerner, galakser og hobe af galakser. Overalt, man ser, ser man umådelig variation og kompleksistet. Hvorfor? Hvordan blev universet på denne måde? Vi ved fra astronomisk observation at universets begyndelsestilstand, for fjorten milliarder år siden, var ekstremt flad, regelmæssig og enkel. På samme måde er fysikkens love enkle: de kendte fysiklove kunne passe på bagsiden af en T-shirt. Enkle love, enkel begyndelsestilstand. Så hvor kom al denne kompleksitet fra? Fysikkens love er tavse om dette emne.
I kontrast hertil har teorien om det beregnende univers en enkel og direkte forklaring på, hvordan og hvorfor universet blev komplekst. Universets historie gennem informationsbehandlende revolutioner, som hver er opstået naturligt fra den foregående, giver allerede tegn på, hvorfor et beregnende univers nødvendigvis giver anledning til kompleksitet. Vi kan faktisk bevise matematisk, at et univers, der beregner, med høj sandsynlighed vil give anledning til en strøm af mere og mere komplekse strukturer.
Kvanteberegning For at forstå, hvordan og hvorfor kompleksitet opstår i et beregnende univers, skal vi forstå mere om, hvorfor universet behandler information på dets mest fundamentale skalaer. Måden, hvorpå universet beregner, er styret af fysikkens love. Kvantemekanik er den gren af fysisk lov der fortæller os hvordan atomer og elementarpartikler opfører sig og hvordan de behandler information.
Den vigtigste ting at huske om kvantemekanik er, at den er mærkelig og imod intuitionen. Kvantemekanik er skør. Partikler svarer til bølger, bølger er lavet af partikler, elektroner og basketbolde kan være to steder på en gang; elementarpartikler udviser hvad Einstein kaldte "spøgelsesagtig virkning på afstand." Niels Bohr, en af kvantemekanikkens grundlæggere, sagde engang at enhver, der kan overveje kvantemekanik uden at blive svimmel, ikke har forstået den rigtigt.
Denne iboende, mod intuitionen stridende, natur af kvantemekanikken forklarer, hvorfor mange strålende videnskabsfolk, bemærkelsesværdigt Einstein (som modtog sin Nobelpris for sit arbejde i kvantemekanik), har manglet tillid til feltet. Mere end andre havde Einstein retten til at stole på sin intuition. Kvantemekanikken stred imod hans intuition, ligesom den er i modstrid med enhvers intuition. Så Einstein mente, at kvantemekanikken ikke kunne være rigtig: "Gud spiller ikke terninger," erklærede han. Einstein tog fejl. Gud eller hvem det er som spiller, spiller terninger.
Det er denne iboende tilfældighed ved kvantemekanikkens natur der er nøglen til at forstå det beregnende univers. Fysiklovene støtter klart beregning: Jeg skriver disse ord på en computer. Desuden støtter fysisk lov beregning på de mest fundamentale niveauer: Maxwell, Bolzman og Gibbs viser, at alle atomer registrerer og behandler information. Mine kolleger og jeg udnytter denne informationsbehandlende evne hos universet til at bygge kvantecomputere, der opbevarer og behandler information på individuelle atomers niveau. Men hvem - eller hvad - programmerer denne beregnende computer? Hvorfra kommer de bits af information som fortæller universet, hvad det skal gøre? Hvad er kilden til at den variation og kompleksitet, som man ser ud af vinduet? Svaret ligger i kastet af kvanteterninger.
Lad os se nærmere på hvordan kvantemekanikken sprøjter information ind i universet. Kvantemekanikkens love er stort set deterministiske: det meste af tiden giver hver tilstand anledning til en, og kun en, tilstand på et senere tidspunkt. Det er denne deterministiske egenskab ved kvantemekanik, der tillader universet at opføre sig som en almindelig digital computer, som behandler information på en deterministisk måde. Nu og da indsprøjtes der imidlertid et element af tilfældighed i kvanteudviklingen: når dette sker kan en tilstand give anledning probabilistisk til adskillige forskellige mulige tilstande på et senere tidspunkt. Evnen til at give anledning til adskillige forskellige mulige tilstande tillader universet at opføre sig som en kvantecomputer, som, ulig en konventionel digital computer, kan følge adskillige forskellige beregninger samtidigt.
Mekanismen, gennem hvilken kvantemekanik indsprøjter et element af tilfældighed i universets funktion, kaldes "dekohærens" (Gell-Man og Hartle, 1994). Dekohærens' virkning er at skabe nye bits af information, bits som tidligere ikke fandtes. Med andre ord indsprøjter kvantemekanikken via dehohærens nye bits information ind i verden. Enhver detalje, som vi ser omkring os, enhver åre på et blad, hver hvirvel på et fingeraftryk, enhver stjerne på himlen kan spores tilbage til en eller anden bit, som kvantemekanikken skabte. Kvantebits programmerer universet.
Nu forekommer der imidlertid at være et problem. Kvantemekanikkens love betyder, at de nye bits, som dekohærens indsprøjter i universet, i alt væsentligt er tilfældige, som kast af en fair mønt: Gud spiller terninger. Universet opstod sikkert ikke fuldstændig tilfældigt! Mønstrene, vi ser når vi kigger ud af vinduet, er langt fra tilfældige. Tværtimod er informationen, skønt detaljeret og kompleks, som vi ser omkring os yderst ordnet. Hvordan kan yderst tilfældige bits give anledning til et detaljeret, komplekst men ordnet univers?
Maskinskrivende aber Universets evne til beregning giver svaret på, hvordan tilfældige bits nødvendigvis giver anledning til orden og kompleksitet. For at forstå, hvordan kombinationen af tilfældighed sammen med beregning automatisk giver anledning til kompleksitet, så lad os først se på en gammel og ukorrekt forklaring på oprindelsen til orden og kompleksitet. Kunne universet have sin oprindelse alene fra tilfældighed? Nej. Tilfældighed taget for sig selv giver kun anledning til volapyk, ikke til struktur. Tilfældig information, som den der skabes ved at kaste en mønt, er yderst usandsynlig til at udvise orden og kompleksitet.
Tilfældighedens fejlende orden er indeholdt i det velkendte billede af aber der skriver på maskine, skabt af den franske matematiker Emile Borel i det første årti af det tyvende århundrede (Borel, 1909). Man skal forestille sig en million aber (singes dactylographiques), som hver skriver bogstaver tilfældigt på en skrivemaskine. Borel bemærkede, at disse aber havde en endelig sandsynlighed for at frembringe alle teksterne i alle verdens rigeste biblioteker. Så pegede han på, at chancen for at de gjorde det var uendelig lille. (Dette billede er dukket op igen og igen i populær literatur, som i fortællingen hvor aberne øjeblikkeligt begyndte at udskrive Shakespeare's Hamlet).
For at se hvor lille en chance aberne har for at producere en tekst af interesse kan man forestille sig, at enhver elementarpartikel i universet er en "abe" og at hver partikel har skiftet bits eller "skrevet" siden universets begyndelse. Andetsteds har jeg vist, at antallet af elementære hændelser eller bitskift der er sket siden universets begyndelse ikke er større end 10120 -, 2400. Hvis man søger inde i denne enorme, tilfældige streng af bits efter en bestemt understreng (for eksempel, Hamlets monolog), så kan man vise, at den længste bitstreng, man med rimelighed kan vente at finde, ikke er længere end logaritmen af længden af den lange, tilfældige streng. I tilfældet med universet er det længste stykke af Hamlets monolog, man kan forvente at finde 400 bits lang. For at indkode et bogstav fra en skrivemaskine kræves syv bits. Med andre ord, hvis vi spørger efter den længste brøkdel af Hamlets monolog, som aberne kunne have frembragt siden universets begyndelse, er det "To be, or not to be - that is the question: Whether 'tis nobler...". Aber, som skriver tilfældigt på skrivemaskiner ville ikke producere Hamlet, for ikke at sige den komplekse verden vi ser omkring os.
Antag nu, at i stedet for at skrive på maskiner, skriver aberne deres tilfældige strenge af bits ind i computere. Computerne tolker hver streng som et program, et sæt instruktioner til at udføre en bestemt beregning. Hvad så? Til at begynde med kan det måske synes som at tilfældige programmer burde give anledning til tilfældige output: affald ind affald ud som computerforskere siger.Ved et nyt kig finder man imidlertid, at der er korte, tilsyneladende tilfældige programmer som instruerer computeren til at gøre alle mulige slags interessante ting. (Sandsynligheden for at aber, der skriver ind i en computer, frembringer et givet output er emnet for en gren af matematik kaldet algoritmisk informationsteori.) For eksempel er der et kort program, der instruerer computeren til at beregne ciffrene i pi og et andet program der instruerer computeren til at konstruere indviklede fraktale mønstre. Et af de korteste programmer instruerer computeren til at beregne alle mulige matematiske teoremer og mønstre, inklusive ethvert mønster, der nogensinde er frembragt af fysikkens love! Man kunne måske sige, at forskellen mellem aber, der skriver på maskine, og aber, der skriver på computer, er hele forskellen i verden.
For at anvende denne rent matematiske konstruktion af algoritmisk informationsteori på vort univers behøver vi to ingredienser: en computer, og aber. Men vi har en computer - selve universet, som på sit mest mikroskopiske niveau travlt behandler information. Hvor er aberne? Som bemærket ovenfor giver kvantemekanikken universet en konstant forsyning af friske, tilfældige bits, frembragt gennem processen dekohærens. Kvantesvingninger er "aberne" der programmerer universet (Lloyd, 2006).
For at rekapitulere:
(1) Den algoritmiske informations matematiske teori indebærer, at en computer der er forsynet med et tilfældigt program har en god chance for at producere al den orden og kompleksitet, vi ser. Dette er en enkel matematisk kendsgerning: for at anvende den på vort univers behøver vi at identificere universets beregningsmekanisme sammen med dets kilde til tilfældighed.
(2) Man har siden slutningen af det nittende århundrede vidst, at hvis universet kan betragtes som en maskine (det mekanistiske paradigme), er det en maskine der behandler information. I 1990'erne viste jeg og andre forskere i kvanteberegning at universet var i stand til omfattende digital beregning på dets mest mikroskopiske niveauer: universet er, teknisk, en gigantisk kvantecomputer.
(3) Kvantemekanikken besidder iboende kilder til tilfældighed (Gud spiller terninger), som programmerer denne computer. Som bemærket i diskussionen af historien om informationsbehandlende revolutioner ovenfor kan indsprøjtningen af nogle få tilfældige bits, som i tilfældet med genetisk mutation eller rekombination, give anledning til et radikalt nyt paradigme om informationsbehandling.
Diskussion Det beregningsmæssige paradigme for universet supplerer det almindelige mekanistiske paradigme: universet er ikke blot en maskine, det er en maskine, der behandler information. Universet beregner. Det beregnende univers er ikke en metafor men en matematisk kendsgerning: universet er et fysisk system der kan programmeres på sit mest mikroskopiske niveau til at udføre universal digital beregning. Desuden er universet ikke kun en computer: det er en kvantecomputer. Kvantemekanikken indsprøjter konstant friske, tilfældige bits ind i universet. På grund af dets beregningsmæssige natur behandler og tolker universet disse bits, som naturligt giver anledning til alle slags kompleks orden og struktur (Lloyd, 2006).
Resultaterne af de foregående afsnit er videnskabelige resultater: de stammer fra informationsbehandlingens matematik og fysik. Da Aristoteles havde færdiggjort skrivningen af hans Physics skrev han Metaphysics: håndgribeligt "bogen efter fysik." Dette kapitel har kort beskrevet fysikken af det beregnende univers og dens betydninger for oprindelsen af kompleksitet og orden. Lad os bruge det beregnende univers' fysik som grundlag for dets metafysik.
Referencer
Borel, E. (1909). Éléments de la Théorie des Probalitiés. Paris: A. Hermann et Fils.
Chomsky, N., Hauser, M.D., og Tecumseh Fitch, W. (2002). The Faculty of Language: What is it, who has it, and how did it evolve. Science, 22(2): 1569-1579.
Chuang, I.A. og Nielsen, M.A. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
Ehrenfest, P. og Ehrenfest, T. (2002). The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics. New York: Dover.
Gell-Mann, M. og Hartle, J.B. (1994). The Physical Origins of Time Asymmetry, ed. J. Halliwell, J. Perez-Mercader og W. Zurek. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
Lloyd, S. (2006). Programming the Universe. New York: Knopf.
Shannon, C.E. og Weaver, W. (1963). The Mathematical Theory of Communication. Urbana: University of Illinois Press.
* Seth Lloyd er Professor of Mechanical Engineering på MIT, første undersøger på Research Laboratory of Electronics og konstruktør af den første mulige kvantecomputer. Han har haft artikler i The New York Times, Los Angeles Times, Washington Post, The Economist og Wired blandt andre publikationer. Hans navn dukker hyppigt op (som både skribent og emne) i siderne af Nature, New Scientist, Science og Scientific American.
Fra The Computational Universe, Information and the Nature of Reality, red. Paul Davies og Niels Henrik Gregersen. Cambridge University Press 2010.
|
