|
Beregning med kvanteknuder
En maskine baseret på bizarre partikler kaldet anyoner, der repræsenterer en beregning som et sæt snore i rumtiden, kunne måske være en genvej til praktisk kvanteberegning
Graham P. Collins*
Kvantecomputere lover at udføre beregninger, som menes at være umulige for almindelige computere. Nogle af disse beregninger er af stor vigtighed i den virkelige verden. For eksempel kunne visse udbredte krypteringsmetoder knækkes givet en computer, der er i stand til at opløse et stort tal i dets faktorer indenfor et rimeligt tidsrum. Faktisk er næsten alle krypteringsmetoder, der bruges til yderst følsomme data, sårbare overfor en eller anden kvantealgoritme. En kvantecomputers ekstra kraft kommer i stand, fordi den arbejder på information repræsenteret som qubits, eller kvantebits, i stedet for bits. En almindelig klassisk bit kan være enten et 0 eller et 1 og standard mikrochip arkitekturer håndhæver den tvedeling strengt. I kontrast hertil kan en qubit være i en såkaldt overlejringstilstand, som medfører, at dele af 0 og 1 eksisterer sammen. Man kan forestille sig de mulige qubit tilstande som punkter på en kugle. Nordpolen er et klassisk 1, sydpolen et 0 og alle punkterne ind imellem er alle de mulige overlejringer af 0 og 1 [se ”Rules for a Complex Quantum World,” af Michael A. Nielsen; Scientific American, november 2002]. Friheden, som qubits har til at strejfe om over hele kuglen, hjælper med til at give kvantecomputere deres enestående evner. Uheldigvis forekommer kvantecomputere at være yderst vanskelige at bygge. Qubits udtrykkes typisk som kvanteegenskaberne ved visse indfangede partikler, som individuelle atomare ioner eller elektroner. Men deres overlejringstilstande er yderst følsomme og kan ødelægges ved de mindste små, spredte vekselvirkninger med det omgivende miljø, som inkluderer alt det materiale, der udgør selve computeren. Hvis qubits ikke isoleres omhyggeligt fra deres omgivelser, vil sådanne forstyrrelser indføre fejl i beregningen. De fleste projekter til konstruktion af en kvantecomputer fokuserer derfor på at finde måder at minimere qubits vekselvirkninger med miljøet på. Forskere ved, at hvis fejlraten kan reduceres til omkring en fejl for hver 10.000 trin, så kan fejlretningsprocedurer anvendes til at kompensere for henfald af individuelle qubits. Konstruktion af en fungerende maskine, der har et stort antal qubits isolerede godt nok til at have en sådan lav fejlrate, er en skræmmende opgave, som fysikere er langt fra at gennemføre. Nogle få forskere forfølger en meget anderledes måde at bygge en kvantecomputer på. I deres indfaldsvinkel afhænger de sarte kvantetilstande af, hvad der er kendt som et fysisk systems topologiske egenskaber. Topologi er det matematiske studium af egenskaber, der er uændrede, når et objekt bliver deformeret jævnt gennem processer som strækning, presning og bøjning, men ikke ved at skære eller sammenføje. Det omfatter sådanne emner som knudeteori. Små forstyrrelser ændrer ikke en topologisk egenskab. For eksempel er en lukket ring af snor med en knude bundet topologisk forskellig fra en lukket ring uden knude. Den eneste måde at ændre den lukkede ring til en lukket ring plus knude på er at skære i snoren, binde knuden og lukke snorens ender igen. På samme måde er den eneste måde at omforme en topologisk qubit til en anden tilstand på at udsætte den for vold af den slags. Små puf fra miljøet vil ikke udføre trick’et.
En lukket rings topologi (a) er uændret, hvis snoren skubbes omkring og danner en anden form (b), men er forskellig fra topologien af en lukket ring med en bunden knude (c). Knuden kan ikke dannes blot ved at flytte snoren omkring. I stedet skal man skære i snoren, binde knuden og sætte enderne sammen igen. Som konsekvens er ringens topologi ufølsom overfor forstyrrelser, der kun skubber snoren omkring. GEORGE RETSECK
Ved første øjekast forekommer en topologisk kvantecomputer slet ikke at være en computer. Den udarbejder sine beregninger på flettede snore – men ikke fysiske snore i konventionel forstand. De er snarere det, fysikerne henviser til som verdenslinier, repræsentationer af partikler som de bevæger sig gennem tid og rum. (Man skal forestille sig, at en af disse strenges længde repræsenterer en partikels bevægelse gennem tiden og at dens tykkelse repræsenterer partiklens fysiske dimensioner.) Desuden er selv de involverede partikler ulig de elektroner og protoner, man først forestiller sig. I stedet er de kvasipartikler – excitationer i et todimensionalt elektronisk system, der opfører sig meget som højenergifysikkens partikler og antipartikler. Og som en yderligere komplikation er kvasipartiklerne af en særlig type kaldet anyoner, der har de ønskede matematiske egenskaber.
Her ses, hvordan en beregning kunne se ud: for det første, skab par af anyoner og anbring dem på en linie [se box]. Hvert anyonpar ligner en partikel og dens tilsvarende antipartikel, skabt af ren energi. Flyt dernæst nærliggende anyonpar omkring hinanden i en omhyggeligt bestemt rækkefølge. Hver anyons verdenslinie danner en tråd og anyonernes bevægelser, når de skiftes rundt på denne måde, danner en fletning af alle trådene. Kvanteberegningen er indkapslet i den særlige fletning, der på denne måde dannes. Anyonernes sluttilstande, som udtrykker resultatet af beregningen, bestemmes af fletningen og ikke af nogen spredt elektrisk eller magnetisk vekselvirkning. Og fordi fletningen er topologisk – at puffe trådene lidt frem og tilbage ændrer ikke fletningen – er den naturligt beskyttet mod ydre forstyrrelser. Ideen, at bruge anyoner til at udføre beregninger på denne måde, blev foreslået i 1997 af Alexei Y. Kitaev, nu på Microsoft. Michael H. Freedman, nu på Microsoft, forelæste i efteråret 1988 på Harvard University om muligheden for at bruge kvantetopologi til beregning. Disse ideer, som blev offentliggjort i et forskningspapir i 1998, byggede på opdagelsen af, at visse matematiske mængder kendt som knudeinvarianter var forbundet med kvantefysikken af en todimensional overflade, der udviklede sig i tiden. Hvis et af det fysiske systems tilfælde kunne skabes og en passende måling udføres, ville knudeinvarianten blive tilnærmet beregnet automatisk i stedet for via en ubekvem lang beregning på en konventionel computer. Ligeså vanskelige problemer, der ville være af vigtighed i den mere virkelige verden, ville have lignende genveje. Skønt det hele lyder som vild teoretiseren helt fjernet fra virkeligheden, har nylige eksperimenter på et felt kendt som fraktionel-kvante-Hall fysik sat anyonplanen på fastere grund. Yderligere eksperimenter er blevet foreslået for at udføre en topologisk kvanteberegnings grundlag.
Som tidligere nævnt fletter en topologisk kvantecomputer verdenslinier ved at bytte partiklers positioner. Hvordan partikler opfører sig, når de byttes, er en af de mange måder, hvorpå kvantefysik adskiller sig fundamentalt fra klassisk fysik. Hvis man i klassisk fysik har to elektroner på positionerne A og B og man ombytter deres positioner, er den afsluttende tilstand den samme som begyndelsestilstanden. Fordi elektronerne er uskelnelige er begyndelsestilstanden og afslutningstilstanden det også. Kvantemekanik er ikke så enkel. Forskellen opstår, fordi kvantemekanikken beskriver en partikels tilstand med en mængde kaldet bølgefunktionen, en bølge i rummet, der indeholder alle partiklens egenskaber – sandsynligheden for at finde den på forskellige positioner, sandsynligheden for at måle den ved forskellige hastigheder og så videre. For eksempel er det mest sandsynligt at finde en partikel i et område, hvor bølgefunktionen har en stor amplitude. Et par elektroner beskrives af en fælles bølgefunktion og når de to elektroner udveksles, er den resulterende bølgefunktion minus en gange originalen. Det ændrer toppe af bølgen til dale og omvendt, men det har ingen virkning på svingningernes amplitude. Faktisk ændrer det ikke nogen målelig mængde ved de to elektroner betragtet i sig selv. Det, det ændrer, er, hvordan elektronerne kunne vekselvirke med andre elektroner. Interferens sker, når to bølger adderes. Når to bølger interfererer, har kombinationen en stor amplitude, hvor toppe af en bølge retter ind med bølger fra den anden (”konstruktiv interferens”) og har en lille amplitude, hvor toppe retter ind med dale (”destruktiv interferens”). Multiplikation af en af bølgerne med en fase på minus en udveksler dens toppe og dale og ændrer således konstruktiv interferens, en lys plet, til destruktiv interferens, en mørk plet. Det er ikke kun elektroner, der opsamler en faktor på minus en på denne måde men også protoner, neutroner og i almindelighed enhver partikel af en klasse kaldet fermioner. Bosoner, den anden vigtige klasse partikler, har bølgefunktioner, der er uændrede, når to partikler udveksles. Man kunne sige, at deres bølgefunktioner ganges med en faktor plus en. Dybe matematiske grunde kræver, at kvantepartikler i tre dimensioner skal være enten fermioner eller bosoner. I to dimensioner opstår der en anden mulighed: faktoren kan være en kompleks fase. Man kan tænke på en kompleks fase som en vinkel. Nul grader svarer til tallet en; 180 grader er minus 1. Vinkler ind imellem er komplekse tal. For eksempel svarer 90 grader til i, kvadratroden af minus en. Som med en faktor på minus en har multiplikation af en bølgefunktion med en fase absolut ingen virkning på den individuelle partikels egenskaber, fordi alt, der har betydning for disse egenskaber, er amplituden af bølgens svingninger. Ikke desto mindre kan fasen ændre, hvordan to komplekse bølger interfererer. Partikler, der opsamler en kompleks fase når de udveksles, kaldes anyoner, fordi enhver (any, o.a.) kompleks fase kunne dukke op, ikke blot en fase på plus eller minus en. Partikler af en given art opsamler imidlertid altid den samme fase.
Anyoner eksisterer kun i en todimensional verden. Hvordan kan vi producere par af dem til topologisk beregning, når vi lever i tre tredimensioner? Svaret ligger i kvasipartiklernes fladlandsrige. To plader af gallium arsenid halvleder kan bearbejdes omhyggeligt, så de giver husly til en ”gas” af elektroner på deres skæringsflade. Elektronerne bevæger sig frit i skæringsfladens to dimensioner, men er indskrænkede fra at bevæge sig i den tredje dimension, hvilket ville føre dem bort fra skæringsfladen. Fysikere har studeret sådanne systemer af elektroner, kaldet todimensionale elektrongasser, intenst, især når systemerne er nedsænket i høje tværgående magnetiske felter ved ekstremt lave temperaturer, på grund af de usædvanlige kvanteegenskaber, der udvises under disse forhold. For eksempel, i fraktionel-kvante-Hall effekten opfører excitationer i elektrongassen sig som partikler, der har en brøkdel af elektronens ladning. Andre excitationer bærer enheder af den magnetiske flux rundt med sig, som om fluxen var en uadskillelig del af partiklen. I 2005 hævdede Vladimir J. Goldman, Fernando E. Camino og Wei Zhou fra Stony Brook University at have direkte eksperimentel bekræftelse på, at kvasipartikler, der optræder i fraktionel-kvante-Hall tilstanden, er anyoner, et afgørende første trin i den topologiske indfaldsvinkel til kvanteberegning. Nogle forskere søger imidlertid uafhængige linier af vidnesbyrd for kvasipartiklernes anyonske natur, fordi visse ikke-kvantevirkninger kunne tænkes at frembringe de resultater, der er set af Goldman og hans kolleger.
I to dimensioner dukker der et vigtigt nyt emne op ved udvekslingen af to partikler: Følger partiklerne baner med uret eller mod uret, når de udveksles?. Den fase bølgefunktionen opsamler afhænger af den egenskab. De to alternative stier er topologisk distinkte, fordi eksperimentatoren ikke løbende kan deformere banerne med uret til baner mod uret uden at krydse stierne og få partiklerne til at kollidere et eller andet sted. Bygning af en topologisk kvantecomputer kræver en yderligere komplikation: anyonerne skal være det, der kaldes ikke-abelske. Denne egenskab betyder, at rækkefølgen, i hvilken partiklerne udveksles er vigtig. Forestil Dig at Du har tre identiske anyoner på en række på positionerne A, B, og C. Først udveksles anyonerne på positionerne A og B. Dernæst udveksles anyonerne, der nu er på positionerne B og C. Resultatet vil være den oprindelige bølgefunktion modificeret af en eller anden faktor. Antag i stedet at anyonerne på B og C udveksles først, efterfulgt af udveksling af dem på A og B. Hvis resultatet er bølgefunktionen ganget med den samme faktor som før, kaldes anyonerne for abelske. Hvis faktorerne er forskellige, afhængigt af udvekslingernes rækkefølge, er de ikke-abelske anyoner. (Den ikke-abelske egenskab opstår, fordi den faktor, der ganger med bølgefunktionen, for disse anyoner er en matrice af tal og resultatet af at gange to matricer afhænger af rækkefølgen, i hvilken de ganges.) Eksperimentet, som Goldmans hold udførte, involverede abelske anyoner. Ikke desto mindre har teoretikere stærk grund til at tro, at visse fraktionel-kvante-Hall kvasipartikler virkelig er ikke-abelske. Der er blevet foreslået eksperimenter for at afgøre dette spørgsmål. Et blev foreslået af Freedman sammen med Sankar Das Sarma fra University of Maryland at College Park og Chetan Nayak fra Microsoft med vigtige forfinelser foreslået af Ady Stern fra Weizmann Institute i Israel og Bertrand Halperin fra Harvard University; det andet blev præsenteret af Kitaev, Parsa Bonderson fra California Institute of Technology og Kirill Shtengel, nu på University of California, Riverside.
Når man først har ikke-abelske anyoner kan man frembringe en fysisk repræsentation af det, der kaldes en fletningsgruppe. Denne matematiske struktur beskriver alle de måder en given række tråde kan flettes sammen på. Enhver fletning kan bygges ud fra en serie elementære operationer, i hvilke to tråde, der ligger ved siden af hinanden, flyttes ved en bevægelse enten med eller mod uret. Hver mulig rækkefølge af anyon manipulationer svarer til en fletning og omvendt. Hvad der også svarer til hver fletning er en meget kompliceret matrix, resultatet af at kombinere alle de individuelle matricer fra hver anyon udveksling. Nu har vi alle elementerne på plads til at se, hvordan disse fletninger svarer til en kvanteberegning. I en almindelig computer er computerens tilstand repræsenteret af den kombinerede tilstand af alle dens bits – den særlige rækkefølge af 0’er og 1’er i dens register. På samme måde er en kvantecomputer repræsenteret ved den kombinerede tilstand af alle dens qubits. I en topologisk kvantecomputer kan qubits repræsenteres af grupper af anyoner.
I en kvantecomputer beskrives processen af at gå fra alle qubits’ begyndelsestilstand til sluttilstanden af en matrix der ganger alle qubits fælles bølgefunktion. Ligheden med hvad der sker i en topologisk kvantecomputer er indlysende: i det tilfælde er matricen den, der er forbundet med den særlige fletning, der svarer til rækkefølgen af anyon manipulationer. Vi har således verificeret, at operationerne, der udføres på anyonerne, resulterer i en kvanteberegning. En anden vigtig egenskab skal bekræftes: Kan vor topologiske kvantecomputer udføre enhver beregning, som en almindelig computer kan? Freedman, som arbejdede sammen med Michael Larsen fra Indiana University og Zhenghan Wang, nu på Microsoft, beviste i 2002, at en topologisk kvantecomputer virkelig kan simulere enhver standard computers beregning, med med en hage: simuleringen er omtrentlig. Men givet enhver ønsket nøjagtighed, som en del af 104, kan man finde en fletning, der vil simulere den krævede beregning til den nøjagtighed. Jo finere nøjagtighed der kræves, jo større er antallet af snoninger i fletningen. Heldigvis stiger antallet af krævede snoninger meget langsomt, så det er ikke for vanskeligt at opnå meget stor nøjagtighed. Beviset viser imidlertid ikke, hvordan man kan bestemme, hvilken virkelig fletning der svarer til en beregning – det afhænger af den specifikke konstruktion af topologisk kvantecomputer, især arten af anyoner der anvendes og deres forhold til elementære qubits. Problemet med at finde fletninger til at udføre specifikke beregninger blev taklet i 2005 af Nicholas E. Bonesteel fra Florida State University, sammen med kolleger der og på Lucent Technologies’s Bell Laboratories. Holdet viste udtrykkeligt, hvordan man skulle konstruere en såkaldt kontrolleret NOT (eller CNOT) gate med en nøjagtighed på to dele af 103 ved at flette seks anyoner. En CNOT gate kræver to input: en kontrolbit og en målbit. Hvis kontrolbit’en er 1, ændrer den målbit’en fra 0 til 1 eller omvendt. Ellers er bits uændrede. Ved at virke på qubits kan enhver beregning bygges fra et netværk af CNOT gates og en anden operation – gangningen af individuelle qubits med en kompleks fase. Dette resultat tjener som endnu en bekræftelse på, at topologiske kvantecomputere kan udføre enhver kvanteberegning. Kvantecomputere kan udføre bedrifter, som man tror er umulige for klassiske computere. Er det muligt, at en topologisk computer er kraftigere end en almindelig kvantecomputer? En anden sætning, bevist af Freedman, Kitaev og Wang, viser, at det ikke er tilfældet. De demonstrerede, at en topologisk kvantecomputers operation kan simuleres effektivt til vilkårlig nøjagtighed på en konventionel kvantecomputer, hvilket betyder, at alt en topologisk kvantecomputer kan beregne, kan en konventionel kvantecomputer også beregne. Dette resultat antyder en generel sætning: ethvert tilstrækkeligt avanceret beregningssystem, der gør brug af kvanteresourcer har nøjagtigt de samme beregningsevner. (En analog sætning for klassiske computere blev foreslået af Alonzo Church og Alan Turing i 1930’erne.)
Jeg har dækket over to processer, der er afgørende for at bygge en praktisk topologisk kvantecomputer: initialiseringen af qubits før starten af beregningen og udlæsningen af svaret ved slutningen. Initialiseringstrinnet involverer frembringelse af kvasipartikelpar og problemet er at vide, hvilke arter kvasipartikler der er blevet skabt. Den grundlæggende procedure er at lede prøveanyoner omkring de frembragte par og så måle, hvordan prøveanyonerne er blevet ændret af den proces, hvilket afhænger af arten af anyoner, de har passeret. (Hvis en prøveanyon ændres, vil den ikke længere blive annihileret rent med sin partner.) Anyonpar, som ikke er af den krævede type, ville blive kasseret. Udlæsningstrinnet involverer også måling af anyontilstande. Den måling er umulig medens anyonparrene er vidt adskilt: anyonerne skal bringes sammen i par for at blive målt. Groft sagt er det som at tjekke for at se, om parrene annihilerer rent som sande antipartikler eller om de efterlader rester af ladning og flux, der afslører, hvordan deres tilstande er blevet ændret af fletning fra det eksakte antipartikel forhold, i hvilket de begyndte deres liv. Det gælder også, at det ikke er sandt, at en topologisk computer er immun over for fejl. Hovedkilden til fejl er termiske svingninger i det underliggende materiale, som kan frembringe et ekstra par anyoner. Begge anyoner vikler sig så ind i beregningens fletning og til slut annihilerer parret igen. Heldigvis undertrykkes den termiske frembringelsesproces ved den lave temperatur, en topologisk computer ville virke ved. Endvidere daler sandsynligheden for, at hele den dårlige proces finder sted eksponentielt, når afstanden, de indblandende anyoner skal bevæge sig, stiger. Således kan man opnå enhver krævet grad af nøjagtighed ved at bygge en tilstrækkelig stor computer og holde de arbejdende anyoner langt nok fra hinanden når de flettes. Topologisk kvanteberegning er fortsat i sin barndom. Det er endnu ikke blevet demonstreret, at de grundlæggende arbejdselementer, ikke-abelske anyoner, eksisterer og de mest enkle logiske gates er endnu ikke bygget. Det tidligere nævnte eksperiment af Freedman, Das Sarma og Nayak ville opnå begge disse mål – hvis de involverede anyoner viser sig at være ikke-abelske, som forventet, ville apparatet udføre den logiske NOT operation på qubit tilstanden. Trioen vurderede at fejlraten for processen ville være 10-30 eller mindre. En så lille fejlrate forekommer, fordi sandsynligheden for fejl undertrykkes eksponentielt, når temperaturen sænkes og længdeskalaen forøges. Den eksponentielle faktor er topologiens essentielle bidrag og den har ingen analog i de mere traditionelle indfaldsvinkler til kvanteberegning. Løftet om ekstraordinære lave fejlrater – mange størrelsesordner lavere end dem, der opnås af noget andet kvanteberegningsprojekt til dato – er det, der gør topologisk kvantebergning så tiltrækkende. Teknologierne involveret i at lave fraktionel-kvante-Hall anordninger er også modne, da de præcist er mikrochip industriens; den eneste hage er, at anordningerne en nødt til at arbejde ved ekstremt lave temperaturer – i størrelsesordenen millikelvin – for at de magiske kvasipartikler kan være stabile. Hvis ikke-abelske anyoner virkelig findes, kunne topologiske kvantecomputere meget vel overhale almindelige kvantecomputer konstruktioner i væddeløbet om at vokse fra individuelle qubits og logiske gates til fuldt flyvefærdige maskiner, der bedre fortjener navnet ”computer.” Udførelse af beregninger med kvanteknuder og fletninger, et projekt der begyndte som et esoterisk alternativ, kunne blive standard måden at indføre praktisk, fejlfri kvanteberegning på.
Topologically Protected Qubits from a Possible Non-Abelian Fraktional Quantum Hall State. Sankar Das Sarma, Michael Freedman og Chetan Nayak i Physical Review Letters, Vol. 94, siderne 166802-1-168802-4; 29. april, 2005.
Devices Based on the Fractional Quantum Hall Effect May Fulfill the Promise of Quantum Computing. Charles Day i Physics Today, Vol. 58, siderne 21-24; oktober 2005.
Anyon There? David Lindley i Physical Review Focus, Vol. 16, Story 14; 2. november, 2005. http://focus.aps.org/story/v16/st14
Topological Quantum Computation. John Preskill. Forelæsningsnoter til rådighed på www.theory.caltech.edu/~preskill/ph219/topological.pdf
* Graham P. Collins er stabsskribent og redaktør med en Ph.D. i fysik fra Stony Brook University. Han ønsker at takke Michael H. Freedman, direktøren for Project Q på Microsoft, for bidrag i forberedelsen af denne artikel.
Fra Computing with Quantum Knots, Scientific American april 2006, siderne 40-47.
12. oktober 2006.
|
