Antikaos og tilpasning

Den biologiske udvikling kan være blevet formet af mere end blot naturlig udvælgelse. Computermodeller antyder, at visse komplekse systemer tenderer mod selv-organisation

Stuart A. Kauffman*

$Beskrivelse: C:\Users\jørgen\Documents\ems.gif$

Indhold:

Indledning
Komplekse systemer
Boolske netværk
Dynamisk adfærd på randen af kaos
Antikaos og biologi
Box: Boolske funktioner og tilstandssvingninger
Box: Spillet om mistilpasning

$Beskrivelse: C:\Users\jørgen\Documents\hrteal.gif$

Matematiske opdagelser indbyder til ændringer af biologernes tanker om oprindelsen til orden i evolutionen. Alle levende ting er yderst ordnede systemer: de har indviklede strukturer, som vedligeholdes og endda duplikeres gennem en præcis ballet af kemiske og adfærdsmæssige aktiviteter. Siden Darwin har biologer betragtet naturlig udvælgelse som den eneste virkelige kilde til den orden.
Men Darwin kunne ikke have haft mistanke om selv-organisationens eksistens, en nyligt opdaget medfødt egenskab ved nogle komplekse systemer. Det er muligt, at biologisk orden delvist afspejler en spontan orden, som udvælgelsen har virket på. Udvælgelsen har formet, men blev ikke tvunget til at opfinde, den indbyggede kohærens i ontogonien eller den biologiske udvikling. Faktisk kan evnen til udvikling og tilpasning i sig selv være evolutionens præstation.
Studierne, der støtter disse konklusioner, forbliver prøvende og ufuldstændige. Alligevel kan man, på grundlag af matematiske modeller af biologiske systemer, der udviser selv-organisation, gøre forudsigelser, der er konsistente med de observerede egenskaber ved organismer. Vi kan være begyndt at forstå udviklingen som ægteskabet mellem udvælgelse og selv-organisation.

Komplekse systemer

For at forstå hvordan selv-organisation kan være en kraft i udviklingen, er en kort oversigt over komplekse systemer nødvendig. Gennem de sidste to årtier har der været en eksplosion af interesse i sådanne systemer i natur- og socialvidenskaberne. Indsatsen er stadig så ny, at der endnu ikke findes en alment accepteret, omfattende definition af kompleksitet.
    Alligevel er visse egenskaber ved komplekse systemer ved at blive tydelige. Et fænomen, som findes i nogle tilfælde, har allerede fanget den populære fantasi: det deterministiske kaos' styrke til at danne tilfældigheder. På grund af kaos kan dynamiske, ikke-lineære systemer, som i begyndelsen er ordnede, med tiden blive fuldstændigt uorganiserede. Begyndelsesforhold, som ligner hinanden meget, kan have tydeligt forskellige resultater. Kaos i vejret eksemplificeres ved den såkaldte sommerfugl virkning: ideen, at en sommerfugls flagren i Rio de Janeiro kan ændre vejret i Chicago.
    Kaos, som er så fascinerende, er kun en del af komplekse systemers adfærd. Der er også et fænomen, som er vanskeligt at forestille sig, der kunne kaldes antikaos: nogle meget uordnede systemer "krystalliserer" spontant til en høj grad af orden. Antikaos spiller, tror jeg, en vigtig rolle i biologisk udvikling og evolution.
    Opdagelsen af antikaos i biologi begyndte for mere end 20 år siden med mine anstrengelser for at forstå matematisk, hvordan et befrugtet æg differentierer sig til en mangfoldighed af celletyper. Siden da har matematikere, computerforskere og faststoffysikere, blandt dem mange af mine kolleger ved Santa Fe Institute i New Mexico, gjort væsentlige fremskridt.
    Biologien er fyldt af komplekse systemer: de tusinder af gener, der regulerer hinanden inde i en celle; netværket af celler og molekyler, der istandbringer immunforsvaret; nervenetværkernes milliarder af neuroner, der ligger under adfærd og indlæring; økosystemernes spin, som er fyldt med samtidigt udviklende arter. Af disse er genomets (det komplette sæt gener i en organisme) selv-regulerende netværk et godt eksempel på, hvordan antikaos kan styre udviklingen.
    Genomet fra en højere organisme, som et menneskeligt væsen, koder informationen til at lave omkring 100.000 forskellige proteiner. Et af udviklingsbiologiens centrale dogmer er, at leverceller, neuroner og andre celletyper er forskellige, fordi forskellige gener er aktive i dem. Alligevel er det nu også klart, at alle cellerne i en organisme indeholder omtrent de samme genetiske instruktioner. Celletyper er forskellige, fordi de har uens mønstre af genetisk aktivitet, ikke fordi de har forskellige gener.
    Et genom virker som en kompleks parallelt-regnende computer, eller netværk, i hvilket gener regulerer hinandens aktivitet enten direkte eller gennem deres produkter. Dette systems koordinerede adfærd ligger under cellulær differentiering. At forstå logikken og strukturen i genomets regulerende system er derfor blevet en central opgave for molekylær biologi.
    Matematiske modeller kan hjælpe forskerne med at forstå egenskaberne ved sådanne komplekse parallelt-regnende systemer. Ethvert komplekst system har det, man kan kalde lokale egenskaber: disse karakteristika beskriver, hvordan individuelle elementer i systemet er forbundet og hvordan de kan influere hinanden. I et genom er elementerne for eksempel gener. Hvert enkelt gens aktivitet reguleres direkte af ret få andre gener eller genprodukter og visse regler styrer deres vekselvirkninger.
    Givet et hvilket som helst sæt lokale egenskaber, kan man konstruere et stort ensemble, eller en klasse, af alle de forskellige komplekse systemer, der er konsistente med dem. En ny form for statistisk mekanik kan identificere de gennemsnitlige egenskaber ved alle de forskellige systemer i ensemblet. (I modsætning hertil midler den traditionelle statistiske mekanik over alle mulige tilstande for et enkelt system). Individuelle systemer i ensemblet kan være meget forskellige; ikke desto mindre er de statistisk typiske adfærde og strukturer den bedste hypotese til forudsigelse af hvert enkelt systems egenskaber.

Boolske netværk

Denne indfaldsvinkel begynder med at idealisere adfærden for hvert element i systemet - hvert gen i genomets tilfælde - som en enkelt binær (tændt eller slukket) variabel. For at studere adfærden af tusinder af elementer, når de kobles sammen, brugte jeg en klasse systemer kaldet tilfældige Boolske netværk. Disse systemer er opkaldt efter George Boole, den engelske opfinder af en algebraisk indfaldsvinkel til matematisk logik.
    I et Boolsk netværk reguleres hver variabel af andre, der tjener som input. Hver variabels dynamiske adfærd - dvs. om den vil være tændt eller slukket i næste øjeblik - styres af en logisk kontaktregel kaldet en Boolsk funktion. Funktionen specificerer en variabels aktivitet som svar på alle de mulige kombinationer af aktiviteter i inputvariablerne. En sådan regel er den Boolske OR (ELLER) funktion, som siger, at en variabel vil være aktiv, hvis nogen af dens inputvariabler er aktive. Alternativt erklærer AND (OG) funktionen, at en variabel kun vil blive aktiv, hvis alle dens input i øjeblikket er aktive.
    Man kan beregne hvor mange Boolske funktioner, der kunne tænkes at gælde for ethvert binært element i et netværk. Hvis et binært element har K input, så er der 2^K mulige kombinationer af input, det kunne modtage. For hver kombination skal der specificeres enten et aktivt eller inaktivt resultat. Derfor er der 2 i 2^K potens mulige Boolske kontaktregler for det element.
    De matematisk idealiserede versioner af biologiske systemer, jeg vil diskutere, kaldes autonome tilfældige Boolske NK netværk. De består af N elementer, der er forbundet af K input pr. element; de er autonome, fordi ingen input kommer fra systemets eksteriør. Input og en af de mulige Boolske funktioner tildeles hvert element tilfældigt. Ved at tildele N og K værdier kan man definere et ensemble af netværk med samme lokale egenskaber. Et tilfældigt netværk er udvalgt tilfældigt fra dette ensemble.
    Hver kombination af binære elementaktiviteter udgør et netværks "tilstand". I hver tilstand vurderer alle elementerne værdierne af deres regulerende input i det øjeblik. I det næste klokkede øjeblik tænder eller slukker elementerne i overensstemmelse med deres individuelle funktioner. (Fordi alle elementerne virker samtidigt, siges systemet også at være synkront). Et system går fra en unik tilstand til en anden. Rækkefølgen af tilstande kaldes netværkets bane.
    En kritisk egenskab ved tilfældige Boolske netværk er, at de har et endeligt antal tilstande. Et system skal derfor med tiden genindtræde i en tilstand, som det tidligere har mødt. Fordi dets adfærd er præcist bestemt, fortsætter systemet til den samme efterfølgende tilstand, som det gjorde før. Som konsekvens heraf vil det svinge gentagne gange gennem de samme tilstande.
    Sådanne tilstandssvingninger kaldes netværkets dynamiske attraktorer: når et netværks bane en gang fører det til en tilstandssvingning, bliver det der. Sættet af tilstande, der flyder i en svingning eller som ligger på den, udgør tilstandssvingningens "attraktionsbassin". Ethvert netværk skal have mindst en tilstandssvingning, det kan have flere.
    Hvis det overlades til sig selv, vil et netværk med tiden falde til ro i en af dets tilstandssvingningers attraktorer og forblive der. Men hvis netværket perturberes på en eller anden måde, kan dets bane ændre sig. Der er to typer perturbationer, som det er værd at diskutere her: minimale perturbationer og strukturelle perturbationer.
    En minimal perturbation er et forbigående skift af et binært element til dets modsatte aktivitetstilstand. Hvis en sådan ændring ikke flytter et netværk uden for dets oprindelige attraktionsbassin, vil netværket med tiden vende tilbage til dets oprindelige tilstandssvingning. Men hvis ændringen skubber netværket ind i et andet attraktionsbassin, vil netværkets bane ændres: det vil flyde ind i en ny tilstandssvingning og et nyt gentagende mønster af netværksadfærd.
    Stabiliteten af attraktorer, som er udsat for minimale perturbationer, kan variere. Nogle kan overvinde en enkelt perturbation, andre nogle få, medens endnu andre destabiliseres af enhver perturbation. Skift af blot et elements aktivitet kan udløse en lavine af ændringer i de mønstre, som ellers ville være forekommet. Ændringerne er "skade" og de kan udbrede sig i skiftende omfang gennem et netværk [se "Self-Organized Criticallity," af Per Bak og Kan Chen; Scientific American, Januar 1991].
    En strukturel perturbation er en permanent mutation i forbindelserne eller i netværkets Boolske funktioner. Sådanne perturbationer vil inkludere udveksling af to elementers input eller skift af et elements OR funktion til en AND funktion. Som ved minimale perturbationer kan strukturelle perturbationer forårsage skade og netværkernes stabilitet mod dem kan variere.
    Når parameterne, der beskriver et komplekst Boolsk system, ændrer sig, ændrer systemets adfærd sig også: et system kan ændres fra kaotisk adfærd til ordnet adfærd. En type system, som det, måske overraskende, er let at forstå, er et system, i hvilket antal input til hvert element er lig med det totale antal elementer - med andre ord er alt forbundet med alt andet. (Sådanne systemer kaldes K = N netværk). Fordi et tilfældigt K = N netværk er maksimalt uordnet, er efterfølgeren til hver tilstand et fuldstændig tilfældigt valg. Netværket opfører sig kaotisk.
    Et tegn på uordenen i K = N systemer er, at når antallet af elementer stiger, vokser længden af tilstandssvingningerne eksponentielt. Et K = N netværk, der f.eks. består af 200 elementer, kan have 2²⁰⁰ (omkring 10⁶⁰) forskellige tilstande. Middellængden af en tilstandssvingning i netværket er omkring kvadratroden af det tal, omkring 10³⁰ tilstande. Selv om hver tilstandsovergang kun tog et mikrosekund, ville det tage milliarder af gange længere end universets alder for netværket at gennemføre sin attraktor fuldstændigt.
    K = N netværk udviser også maksimal følsomhed for begyndelsesforhold. Fordi efterfølgeren til enhver tilstand essentielt er tilfældig, vil næsten enhver pertubation, som skifter et element, brat ændre netværkets efterfølgende bane. Således forårsager minimale ændringer typisk omfattende skade - ændringer i aktivitetsmønstrene - næsten øjeblikkeligt. Fordi systemerne viser ekstrem følsomhed for deres begyndelsestilstande og fordi deres tilstandssvingningers længde forøges eksponentielt, karakteriserer jeg dem som kaotiske.
    Til trods for denne kaotiske adfærd viser K = N systemer trods alt et overraskende tegn på orden: antallet af mulige tilstandssvingninger (og attraktionsbassiner) er meget lille. Det forventede antal tilstandssvingninger er lig med antallet af elementer divideret med den logaritmiske konstant e. Et system med 200 elementer og 2²⁰⁰ tilstande ville f.eks. kun have omkring 74 forskellige adfærdsmønstre.
    Desuden falder omkring to tredjedele af alle de mulige tilstande inden for blot nogle få attraktorers bassiner - sommetider blot et. De fleste attraktorer kræver relativt få tilstande. En attraktors stabilitet er proportional med størrelsen af dens bassin, en størrelse som er antallet af tilstande på baner, der løber ind i attraktoren. Store attraktorer er stabile overfor mange perturbationer og små er generelt ustabile.
    Disse kaotiske adfærdsmæssige og strukturelle egenskaber er ikke unikke for K = N netværk. De vedvarer efterhånden, som K (antallet af input pr. element) falder til omkring tre. Når K falder til to ændres egenskaberne ved tilfældige Boolske netværk imidlertid brat: netværkerne udviser uventet, spontan kollektiv orden.
    I K = 2 netværk falder både antallet og forventede længder af alternative tilstandssvingninger til blot omkring kvadratroden af antallet af elementer. K = 2 systemers tilstandssvingninger forbliver stabile overfor næsten alle minimale perturbationer og strukturelle perturbationer ændrer kun deres dynamiske adfærd ubetydeligt. (Netværk med kun et enkelt input pr. element udgør en særlig ordnet klasse. Deres struktur degenererer til isolerede feedback ringe, der ikke vekselvirker).
    Det er nu mere end 20 år siden jeg opdagede disse egenskaber ved tilfældige netværk og de overrasker mig stadig. Hvis man skulle undersøge et netværk på 100.000 elementer, som hver modtog to input, ville dets kredsløbsdiagram være en vildt kompleks forvirring. Systemet kunne indtage op til 2^100.000 (omkring 10^30.000) forskellige tilstande. Alligevel ville der dukke orden op spontant: systemet ville falde til ro i en af omkring 370 forskellige tilstandssvingninger. Hvis hver overgang tog et mikrosekund, ville det K = 2 netværk gennemgå sin lille tilstandssvingnings attraktor på kun 370 mikrosekunder - en hel del mindre end de milliarder af gange universets alder, som det kaotiske K = N netværk kræver.
    I det ordnede regime af netværk, med to eller færre input pr. element, er der lille følsomhed overfor begyndelsesforholdene: sommerfuglen sover. I det kaotiske regime afviger netværk efter at være begyndt i næsten ens tilstande, men i det ordnede regime tenderer lignende tilstande til at konvergere mod de samme efterfølgende tilstande ret hurtigt.
    I tilfældige netværk, med kun to input pr. element, er hver attraktor derfor stabil overfor de fleste minimale perturbationer. På samme måde ændrer de fleste mutationer i sådanne netværk kun attraktorerne lidt. De ordnede netværks regime karakteriseres derfor af en homøostatisk kvalitet: netværk vender typisk tilbage til deres oprindelige attraktorer efter perturbationer. Og homøostase er, som jeg nu vil diskutere, en egenskab ved alle levende ting.

Dynamisk adfærd på randen af kaos

Hvorfor udviser tilfældige netværk med to input pr. element en så dyb orden? Det grundlæggende svar synes at være, at de udvikler en frossen kerne eller et forbundet net af elementer, som er effektivt låst i enten en aktiv eller inaktiv tilstand. Den frosne kerne skaber forbundne vægge af konstans, der "perkolerer" eller vokser tværs over hele systemet. Som resultat er systemet opdelt i en uforanderlig frossen kerne og øer af skiftende elementer. Disse øer er funktionelt isolerede: ændringer af aktiviteterne i en ø kan ikke brede sig gennem den frosne kerne til andre øer. Systemet som helhed bliver ordnet, fordi ændringer i dets adfærd skal forblive små og lokale. En lav binding er derfor en tilstrækkelig betingelse for, at ordnet adfærd kan opstå i uordnede skiftesystemer.

$Beskrivelse: C:\Users\jørgen\Documents\kaufpix\frossen.gif$

"FROSNE" ELEMENTER, som er ude af stand til at ændre tilstand kan sommetider opstå i et system. I dette lille prøvenetværk styres alle elementerne af Boolske OR funktioner og er alle i begyndelsen slukkede. Ændringer kaskader gennem systemet efter et element tændes (sort). På grund af netværkets opbygning og de involverede Boolske funktioner, fryser nogle elementer (blå) i den tændte tilstand. De vil herefter vende tilbage til den tilstand selv om de eller et af deres input ændres.

Det er imidlertid ikke en nødvendig betingelse. I netværk med høj binding vil der også opstå orden, hvis der findes visse skævheder (bias) i de Boolske skifteregler. Nogle Boolske funktioner tænder elementer oftere end de slukker dem eller omvendt. En OR funktion for to input vil f.eks. tænde et element som svar på tre ud af de fire mulige kombinationer af binære signaler.
    Et antal faststoffysikere, inkluderende Deitrich Stauffer fra University of Köln og Bernard Derrida og Gerard Weisbuch fra Ecole Normale Supérieure i Paris, har studeret virkningerne af skæve funktioner. De har fundet, at hvis graden af skævhed overskrider en kritisk værdi, så forbinder "homøgenitets klynger" af elementer, der har frosne værdier, sig med hinanden og perkolerer tværs over netværket. Netværkets dynamiske adfærd bliver et spin af frosne elementer og funktionelt isolerede øer af elementer, der kan ændres.
    Den orden er selvfølgelig meget den samme, som jeg har beskrevet for netværk med lav binding. Forbigående omvendinger af et enkelt elements aktivitet, kan typisk ikke brede sig hinsides en isoleret ø's område og kan derfor ikke forårsage megen skade. Hvis skævhedens niveau modsat er et godt stykke under det kritiske niveau - som det er i kaotisk aktive systemer - så spredes et spin af oscillerende elementer tværs over systemet, kun efterladende små øer af frosne elementer. I disse systemer forårsager minimale perturbationer laviner af skade, som kan ændre adfærden hos de fleste af de ikke-frosne elementer.
    Christopher Langton, computerforsker ved Los Alamos National Laboratory, har indført en analogi, som hjælper én til at tænke på ændringen mellem orden og uorden i forskellige ensembler af netværk. Han har relateret netværksadfærd til stoffets faser: ordnede netværk er faste, kaotiske netværk er luftformige og netværk på et mellemliggende stadie er flydende. (Analogien bør selvfølgelig ikke tolkes for bogstaveligt: sande væsker er en distinkt stoffase og ikke blot et overgangsregime mellem luftarter og faste stoffer).
    Hvis skævhederne i et ordnet netværk sænkes til et punkt nær den kritiske værdi, er det muligt at "smelte" de frosne komponenter lidt. Interessant dynamisk adfærd dukker frem på randen af kaos. Ved den faseovergang ville der findes både små og store ufrosne øer. Minimale perturbationer forårsager talrige små laviner og nogle få store laviner. Således kan steder inde i et netværk kommunikere med hinanden - dvs. påvirke hinandens adfærd - ifølge en kraftlov fordeling: nærliggende steder kommunikerer ofte via mange små laviner af skade; fjerne steder kommunikerer ikke så ofte gennem store sjældne laviner.

$Beskrivelse: C:\Users\jørgen\Documents\kaufpix\faseaend.gif$

FASEÆNDRINGER mellem "faste" og "luftformige" tilstande kan forekomme i selv-regulerende netværk, afhængigt af deres lokale kendetegn. Hvis elementets Boolske funktioner er skæve eller hvis hvert element kun har to input (K = 2), så vil et netværk, i hvilket alle elementerne kan variere i begyndelsen, med tiden blive stabilt og derfor fast. Sådanne ordnede systemer består af et stort væv af frosne elementer (blå) og isolerede øer af variable elementer (rød). Hvis funktionerne ikke er skæve (unbiased) eller elementerne har mange indbyrdes forbindelser (K > 3), bliver systemet luftformigt og opfører sig kaotisk. Kun små øer af elementer vil være frosne.

Disse egenskaber inspirerede Langton til at foreslå, at parallelt beregnende netværk, der balancerer på randen af kaos, kunne være i stand til at udføre yderst komplekse beregninger. Overfladisk set er ideen plausibel. Yderst kaotiske netværk ville være så uordnede, at det ville være svært at vedligeholde kontrol over den komplekse adfærd. Yderst ordnede netværk er for frosne til at koordinere kompleks adfærd. Men efterhånden som de frosne komponenter smelter, bliver en mere kompliceret dynamik, som involverer den komplekse koordination af aktiviteter gennem hele netværket , mulig. Kompleksiteten, som et netværk kan koordinere, topper ved den flydende overgang mellem de faste og luftformige tilstande.

Antikaos og biologi

Systemer, der balancerer i den flydende overgangstilstand, kan også have særlig relevans for evolution, fordi de synes at have den optimale kapacitet til udvikling. Som Darwin lærte, kan mutationer og naturlig udvælgelse forbedre et biologisk system gennem ophobningen af successive små varianter, ligesom teknologi kan forbedres ved, at man piller ved den. Alligevel har ikke alle systemer evnen til at tilpasse sig og forbedre sig på den måde. Et komplekst program på en standard computer kan f.eks. ikke let udvikle sig gennem tilfældige mutationer: næsten enhver ændring i dets kode ville ændre beregningen katastrofalt. Jo mere komprimeret koden er, jo mindre evne har den til at udvikle sig.
    Netværk på grænsen mellem orden og kaos kan have fleksibiliteten til at tilpasse sig hurtigt og succesfuldt gennem ophobningen af nyttige variationer. I sådanne afbalancerede systemer har de fleste mutationer små konsekvenser på grund af systemets homøostatiske natur. Nogle få mutationer forårsager imidlertid større kaskader af forandring. Derfor vil balancerende systemer typisk tilpasse sig et skiftende miljø gradvist, men om nødvendigt kan de til tider ændre sig hurtigt. Disse egenskaber observeres i organismer.
    Hvis parallelt beregnende Boolske netværk, der balancerer mellem orden og kaos, lettest kan tilpasse sig, så kan de være et uundgåeligt mål for naturlig udvælgelse. Evnen til at drage fordel af naturlig udvælgelse ville være et af de første træk, der blev udvalgt.
    Hypotesen er dristig, måske endda smuk, men er den sand? Fysikeren Norman H. Packard fra University of Illinois at Champaign-Urbana kan have været den første person som spurgte, om udvælgelse kunne drive parallelt beregnende Boolske netværk til randen af kaos. I det mindste sommetider er svaret ja. Packard fandt, at en sådan udvikling fandt sted i en population af enkle Boolske netværk kaldet celleautomater, som var blevet udvalgt på grund af deres evne til at udføre en specifik enkel beregning.
    For nylig har min kollega Sonke Johnsen fra University of Pennsylvania og jeg fundet yderligere vidnesbyrd om, at udviklingen fortsætter til randen af kaos. Vi er begyndt at studere spørgsmålet ved at sætte Boolske netværk til at spille forskellige spil med hinanden [se box]. Vore resultater antyder også, at overgangen mellem kaos og orden kan være en attraktor for den udviklingsmæssige dynamik i netværk, der udfører en række enkle og komplekse opgaver. Alle netværkspopulationerne blev bedre til at spille spillene hurtigere, end tilfældet alene kunne have gjort. De succesfulde netværks organisation udvikledes også: deres adfærd konvergerede mod grænsen mellem orden og kaos.
    Hvis disse resultater kan stå for en nærmere prøvelse, kan den flydende overgang mellem ordnede og kaotiske organisationer være det karakteristiske selektionsmål for systemer, der kan koordinere komplekse opgaver og tilpasse sig. Ifølge den fornuftsslutning burde sådanne afbalancerede systemer forekomme i biologi.
    Hvor megen orden og hvor meget kaos udviser gensystemerne i vira, bakterier, planter og dyr? Hvert gen reguleres sædvanligvis direkte af nogle få andre gener eller molekyler - måske ikke mere end 10. Det Boolske kredsløbsdiagram for genomet er derfor tyndt og de individuelle genelementer har få input. Endvidere styres næsten alle kendte regulerede gener af en særlig klasse Boolske skifteregler, der kaldes kanaliserende funktioner. I kanaliserende funktioner har mindst et input en værdi, som af sig selv kan bestemme det regulerede elements aktivitet. (OR funktionen er en typisk kanaliserende funktion).
    Som lav binding eller skævhed i de Boolske regler kan rigelige kanaliseringsfunktioner i et netværk skabe en udbredt frossen kerne. Derfor kan en forøgelse af proportionen af kanaliserende funktioner, anvendt i et netværk, drive systemet mod en faseovergang mellem kaos og orden. Fordi genomregulerende systemer er tyndt forbundet og typisk forekommer at være styret af kanaliseringsfunktioner, er det meget sandsynligt at sådanne netværk udviser træk ved parallelt beregnende systemer med frosne perkolerende elementer: et beskedent antal mindre, stabile attraktorer, begrænsningen af skade til små kaskader af laviner og beskedne ændringer af dynamik som svar på mutationer.
    En tolkning af betydningen af antikaos i komplekse systemer har særlig relevans for biologien: en celletype kan svare til en attraktor i genomets dynamik. Et genom, der indeholder 100.000 gener, har potentiale til mindst 10^30.000 mønstre af genudtryk. Genomets regulerende netværk instrumenterer disse muligheder til skiftende mønstre af genaktivitet med tiden. Men en stabil celletype vedbliver at udtrykke begrænsede sæt gener. Det naturlige forslag er, at en celletype svarer til en tilstandssvingnings attraktor: den virkeliggør en temmelig stabil udtrykssvingning i et specifikt sæt gener.
    Givet den tolkning anstiller den spontane orden, der opstår i netværk med lav binding og kanaliserende Boolske funktioner, adskillige forudsigelser om virkelige biologiske systemer. For det første burde hver celletype svare til et meget lille antal gen udtryksmønstre, gennem hvilke den svinger. Man kan derfor beregne, hvor lange sådanne cellesvingninger burde være.
    Efter at have modtaget en passende stimulus behøver et gen i en eukaryotisk celle omkring et til 10 minutter for at blive aktivt. Længden af en attraktor i et genom med 100.000 gener ville være omkring 370 tilstande. Derfor burde en celle gennemløbe alle gen udtryksmønstrene af dens type på omkring 370 til 3.700 minutter. Dette tal er tilnærmelsesvis det korrekte område for virkelige biologiske systemer. Som forudsagt synes længden af cellesvingningerne omtrent at være proportional med kvadratroden af mængden af DNA i bakterier og højere organismer.
    Hvis en celletype er en attraktor, burde det være muligt at forudsige, hvor mange celletyper der kunne fremkomme i en organisme. Antallet af attraktorer er omtrent kvadratroden af antallet af elementer i et netværk; derfor burde antallet af celletyper omtrent være kvadratroden af antallet af gener. Hvis vi antager, at antallet af gener er proportionalt med mængden af DNA i en celle, så burde mennesker have omkring 100.000 gener og 370 celletyper. Ved den seneste opgørelse havde mennesker omkring 254 distinkte celletyper, så den forudsigelse er også i det rette område.
    Over mange arter synes antallet af celletyper at vokse med omtrent kvadratroden af antallet af gener pr. celle (dvs. med antallet af gener i en brøkdel af en potens på omkring en halv). Således har bakterier en eller to celletyper, svampe har måske fra 12 til 15 og ledorme har omkring 60.
    Fordi ikke alt DNA behøver at have en funktion, behøver antallet af gener ikke stige direkte med mængden af DNA. Det forudsagte antal celletyper kunne derfor stige ifølge en brøkdel af en potens, der er større end en halv (kvadratroden) men mindre end en. Ifølge konservative estimater forekommer antallet af celletyper højst at stige som en lineær funktion. Et sådant adfærdsområde findes i komplekse Boolske netværk. I modsætning hertil forudsiger andre enkle matematiske modeller af genomsystemer, at antallet af celletyper ville stige eksponentielt med antallet af gener.
    En anden forudsigelse refererer til celletypernes stabilitet. Hvis en celletype er en attraktor, så kan den ikke ændres af de fleste perturbationer: dens stabilitet er en emergent egenskab ved gen reguleringssystemet.
    Ifølge denne model ville differentiering være et svar på perturbationer, som førte en celle ind i attraktionsbassinet for en anden celletype. I et kanaliserende ensemble kan hver modelcelle imidlertid kun differentiere direkte ind i nogle få alternative celletyper, fordi hver attraktor kun er "nær" nogle få andre. Som konsekvens heraf burde ontologisk udvikling fra et befrugtet æg skride frem ad successive forgrenene stier af differentiering. Med andre ord, når en celle en gang er begyndt at differentiere langs visse linier, mister den valgmuligheden af at differentiere på andre måder. Så vidt biologerne ved, er celledifferentiering i flercellede organismer blevet fundamentalt begrænset og organiseret af successive forgrenene stier siden den Cambriske periode for næsten 600 millioner år siden.
    I kanaliserende netværk dukker orden op, fordi en stor brøkdel af de binære elementer falder ind i en stabil, frossen tilstand. Den stabile kerne af elementer er identisk i næsten alle attraktorerne. Derfor burde alle celletyperne i en organisme udtrykke mest af de samme gener. Typisk burde kun nogle få procent af generne fremvise andre aktiviteter. Begge påstande gælder for biologiske systemer.
    Attraktor modellen for celletyper forudsiger også, at mutationen af et enkelt gen sædvanligvis burde have temmeligt begrænsede virkninger. Laviner af skade (eller ændret aktivitet), forårsaget af mutationen, burde ikke brede sig til den allerstørste del af gener i det regulerende netværk. Ændringer i aktivitet skulle være begrænset til små, isolerede øer af gener. Disse forventninger opfyldes af virkelige genetiske systemer.
    Desuden kommer de forventede størrelser af de ufrosne øer i gensystemerne tæt på at forudsige størrelserne af sådanne laviner. For eksempel kan et hormon kaldet ecdyson i frugtfluen Drosophila udløse en kaskade, som ændrer aktiviteten af omkring 150 gener ud af mindst 5.000. Den forventede størrelse af laviner i kanaliserende genomer med 5.000 elementer eller i dem med lav binding og en frossen kerne indeholdende omkring 80 procent af generne er omkring 160.
    Taget som modeller af genomsystemer kommer systemer, der balancerer mellem orden og kaos, tæt på at passe til mange egenskaber ved cellulær differentiering under ontogenese - egenskaber, som er almindelige i organismer, der har divergeret evolutionært i mere end 600 millioner år. Parallellerne støtter hypotesen om, at evolutionen har justeret adaptive genregulerende systemer til det ordnede område og måske til nær grænsen mellem orden og kaos. Hvis hypotesen fortsat kan holde, har biologerne måske begyndelsen til en omfattende teori om genom organisation, adfærd og evne til udvikling.

Boolske funktioner og tilstandssvingninger

$Beskrivelse: C:\Users\jørgen\Documents\kaufpix\box1.gif$

Boolskefunktioner er logiske regler, der beskriver hvordan binære (tændt eller slukket) elementer i netværk vil reagere på kombinationer af signaler fra andre elementer. Ved at anvende Boolsk logik på et netværk, kan man forudsige systemets adfærd.
I dette enkle netværk (a) er der tre elementer hver af hvilke modtager signaler fra de andre. Element A adlyder den Boolske AND (OG) funktion: det bliver kun aktivt, hvis både elementerne B og C tidligere var aktive. Elementerne B og C adlyder OR (ELLER) funktioner: hver af dem bliver aktive, hvis hver af de andre elementer var aktive. Ved at nedskrive hver mulig begyndelseskombination af tilstande i netværket, kan man udlede af de Boolske funktioner, hvad alle de efterfølgende tilstande vil være (b).
Systemets langtids-adfærd er bemærkelsesværdigt enkel. Skønt netværket i begyndelsen kan have enhver af otte forskellige tilstande, vil det til sidst falde til ro i en af kun tre tilstandssvingninger - som hver er et gentagent mønster af ændring (c). Hvis alle elementerne i begyndelsen er slukkede, forandrer netværket sig aldrig. Hvis kun element B eller element C er aktive, vil systemet svinge frem og tilbage mellem de to tilstande. Enhver anden netværkstilstand fører uundgåeligt til at alle elementerne bliver aktive og forbliver aktive.

Spillet om mistilpasning

$Beskrivelse: C:\Users\jørgen\Documents\kaufpix\mismatch.gif$

Et computerspil demonstrerer, hvordan naturlig udvælgelse kan skubbe tilfældige netværk til et punkt nær randen af kaos. Par af netværk modtager høje point for at have mønstre i seks af deres elementer, der er konstrueret som "tilpasnings" pladser, der adskiller sig maksimalt fra hinanden. Efter en sammenligning tager hvert netværk den andens mønster som input, arbejder på sit svar og laver en ny sammenligning [se ovenfor]. Efter 10 sammenligninger finder hvert netværk en ny modstander. Netværkerne med de højeste point foretrækkes til at formere sig og danne den næste generation. Der sker nu og da mutationer, som tilfældigt ændrer netværkernes lokale kendetegn. Over adskillige generationer forbedrer netværkerne alment deres spil. Uanset deres begyndelsestilstand nærmer netværkerne sig grænselinien mellem orden og kaos.
Disse ændringer kan observeres ved at måle hvordan et netværks baner divergerer eller konvergerer til forskellige tider. D _T er procentdelen af elementer, der har forskellige aktiviteter i et netværks to begyndelseestilstande. D _T+1 er den procentdel målt for de efterfølgende tilstande. Når D _T er lille i meget kaotiske (K _i = 5) netværk, divergerer banerne (D _T+1 > D _T). I meget ordnede (K _i = 1) netværk, konvergerer banerne (D _T+1 < D _T). Efter adskillige generationers spil af Mistilpasnings Spillet, modererer kaotiske og ordnede netværk deres adfærd [se graferne til højre].

$Beskrivelse: C:\Users\jørgen\Documents\kaufpix\genera.gif$

Yderligere information

Phase-Transitions in Two Dimensional Kauffman Cellular Automata. B. Derrida and D. Stauffer in Europhysics Letters, Vol. 2, No. 10, pages 739-745; 1986.

Random Boolean Networks: Analogy with Percolation. D. Stauffer in Philosophical Magazine B, Vol. 56, No. 6, pages 901-916; 1987.

Lectures in the Sciences of Complexity. Edited by Daniel L. Stein. Addison-Wesley, 1989.

Origins of Order: Self-Organization and Selection in Evolution. Stuart A. Kauffman. Oxford University Press.

Investigations. Stuart A Kauffman. Oxford University Press, New York, 2000.

$Beskrivelse: C:\Users\jørgen\Documents\hrteal.gif$

*Kauffman, Stuart A. har tænkt over selv-organisering i levende ting siden 1965. Efter at have studeret ved Dartmouth College og på University of Oxford modtog han sin medicinske grad fra University of California, San Francisco, i 1968. Han har siden da haft stillinger ved Massachusetts Institute of Technology, University of Chicago og National Cancer Institute. Kauffman er i øjeblikket professor i biokemi og biofysik på University of Pennsylvania School of Medicine og ekstern professor ved Santa Fe Institute i New Mexico. I 1987 modtog han et John D. og Catherine T. MacArthur Fellowship. Har skrevet At Home in the Universe. The Search for the Laws of Self-Organization and Complexity. 321 s., Oxford University Press, 1996.

Fra Antichaos and Adaption, Scientific American, august 1991, ss. 64-70.

$Beskrivelse: C:\Users\jørgen\Documents\hrteal.gif$

30. oktober, 2005.

Indhold
Livets vidtstrakte råmaterialer :Én sti: Livets stof. Hvorfor vand?
I begyndelsen...
Index