|
Information i det Holografiske Univers
Teoretiske resultater omkring sorte huller antyder, at universet kunne være som et gigantisk hologram
Jacob D. Bekenstein*
Et univers malet på sin grænse
Spørg enhver hvad den fysiske verden er lavet af og man får sandsynligvis fortalt ”stof og energi.” Men hvis vi har lært noget af ingeniørvirksomhed, biologi og fysik er det, at information er en ligeså afgørende ingrediens. Robotten på bilfabrikken forsynes med metal og plastic, men den kan ikke lave noget nyttigt uden rigelige instruktioner, der fortæller den, hvilken del den skal svejse til hvad og så videre. Et ribosom i en celle i ens krop forsynes med aminosyre byggeklodser og drives af energi frigjort ved omdannelsen af ATP til ADP, men det kan ikke syntetisere proteiner uden informationen, der bringes til det fra DNA i cellens kerne. Faktisk er det en aktuel tendens, som blev igangsat af John A. Wheeler fra Princeton University, at betragte den fysiske verden som lavet af information med energi og stof som noget, der tilfældigt følger med. Dette synspunkt indbyder til et nyt syn på ærværdige spørgsmål. Kapaciteten af apparater til opbevaring af informationer som hard-disk drev er steget med stormskridt. Hvornår vil sådant fremskridt stoppe? Hvad er den endelige informationskapacitet hos et apparat, der f.eks. vejer mindre end et gram og kan ligge indenfor en kubikcentimeter (omkring størrelsen på en computerchip)? Hvor megen information kræves der for at beskrive et helt univers? Kunne den beskrivelse passe ind i en computers hukommelse? Kunne vi, som William Blake skrev, ”se en verden i et sandskorn” eller er den ide ikke andet end digterisk frihed? Det er bemærkelsesværdigt, at nylige udviklinger i teoretisk fysik besvarer nogle af disse spørgsmål og svarene kan være vigtige spor til den endelige teori om virkeligheden. Ved at studere de mystiske egenskaber ved sorte huller har fysikere udledt absolutte grænser for, hvor megen information et område af rummet eller en mængde stof og energi kan indeholde. Beslægtede resultater antyder, at vort univers, som vi opfatter som havende tre dimensioner, i stedet kunne være ”skrevet” på en todimensionel overflade som et hologram. Vore dagligdags opfattelser af verden som tredimensionel ville så enten være en dyb illusion eller bare en af to alternative måder at betragte virkeligheden på. Måske omfatter et sandskorn ikke vor verden, men en flad skærm kunne måske.
Formel informationsteori har sin oprindelse i frugtbare skrifter fra 1948 af den amerikanske matematiker (anvendt matematik) Claude E. Shannon, som indførte nutidens bredest brugte mål for informationsindhold: entropi. Entropi havde længe været et centralt begreb i termodynamik, den gren af fysik der beskæftiger sig med varme. Termodynamisk entropi beskrives populært som uordenen i et fysisk system. I 1877 karakteriserede den østrigske fysiker Ludwig Bolzmann den mere præcist udtrykt som antallet af distinkte mikroskopiske tilstande som partiklerne, der udgør en klump stof, kunne være i, mens de stadig så ud som den samme makroskopiske klump stof. For eksempel, for luften i rummet omkring dig, ville man tælle alle de måder de individuelle gasmolekyler kunne være fordelt i rummet på og alle de måder de kunne bevæge sig på. Da Shannon gik igang med at finde en måde at kvantificere informationen indeholdt i f.eks. en meddelelse, blev han af logik ført til en formel som havde samme form som Boltzmanns. En meddelelses Shannon entropi er det antal binære cifre, eller bits, der er nødvendige for at kode den. Shannon entropi oplyser os ikke om informationens værdi, som er yderst afhængig af sammenhæng. Men som et objektivt mål for mængden af information har den været enormt nyttig i videnskab og teknologi. For eksempel afhænger konstruktionen af ethvert moderne kommunikationsapparat – fra mobiltelefoner til modemer til CD afspillere – af Shannon entropi. Termodynamisk entropi og Shannon entropi er begrebsmæssigt ækvivalente: antal arrangementer, der tælles af Boltzmann entropi afspejler mængden af Shannon information, man ville behøve for at gennemføre ethvert særligt arrangement. De to entropier har dog to fremtrædende forskelle. For det første udtrykkes den termodynamiske entropi, der bruges af en kemiker eller køleskabsingeniør, i enheder af energi divideret med temperatur, hvorimod Shannon entropien, der bruges af en kommunikationsingeniør, er i bits, essentielt dimensionsløst. Den forskel er blot et spørgsmål om skik og brug. Men selv når de reduceres til fælles enheder er de to entropiers værdier imidlertid meget forskellige i størrelsesorden. En silicium mikrochip, der indeholder en gigabyte data, har f.eks. en Shannon entropi på omkring 1010 bits (en byte er otte bits), enormt meget mindre end chip’ens termodynamiske entropi, som er omkring 1023 bits ved stuetemperatur. Denne uoverensstemmelse sker, fordi entropierne beregnes for forskellige frihedsgrader. En frihedsgrad er enhver mængde, der kan variere, som en koordinat der angiver en partikels placering eller en bestanddel af dens hastighed. Chip’ens Shannon entropi beskæftiger sig kun med den overordnede tilstand af hver lille transistor, der er ætset ind i silicium krystallen – transistoren er on eller off; den er et 0 eller et 1 – en enkelt binær frihedsgrad. I kontrast hertil afhænger termodynamisk entropi af tilstanden af alle de milliarder atomer (og deres omstrejfende elektroner), der udgør hver transistor. Efterhånden som miniaturiseringen bringer den dag nærmere, hvor hvert atom vil oplagre en informationsbit for os, vil den moderne mikrochips Shannon entropi nærme sig i størrelsesorden til dens materiales temodynamiske entropi. Når de to entropier beregnes for de samme frihedsgrader er de ens. Hvad er de endelige frihedsgrader? Atomer er trods alt lavet af elektroner og kerner, kerner er sammendyngninger af protoner og neutroner og de er igen sammensat af kvarker. Mange fysikere betragter i dag elektroner og kvarker som excitationer af superstrenge, som de har hypoteser om er de mest fundamentale entiteter. Men omskiftelserne i et århundrede med afsløringer i fysik advarer os mod at være dogmatiske. Der kunne være flere niveauer af struktur i vort univers end man drømmer om i nutidens fysik. Man kan ikke beregne en klump stofs endelige informationskapacitet eller, ækvivalent, dens sande termodynamiske entropi, uden at kende naturen af dens endelige bestanddele af stof eller af det dybeste strukturniveau, som jeg vil henvise til som niveau X. (Denne vilkårlighed giver ingen problemer i analysen af praktisk termodynamik, som f.eks. bilmotorers, fordi kvarkerne inde i atomerne kan ignoreres – de ændrer ikke deres tilstande under de relativt milde forhold i motoren.) Givet de svimlende fremskridt i miniaturisering kan man legende overveje en dag, da kvarker vil tjene til at opbevare information, en bit hver måske. Hvor megen information ville så passe ind i vor en-centimeter terning? Og hvor megen hvis vi tæmmer superstrenge eller endnu dybere niveauer, som man endnu ikke har drømt om? Overraskende nok har udviklinger i gravitationsfysik i de sidste tre årtier forsynet os med nogle klare svar på, hvad der forekommer at være flygtige spørgsmål.
En central spiller i disse udviklinger er det sorte hul. Sorte huller er en konsekvens af almen relativitet, Albert Einsteins 1915 geometriske teori for gravitation. I denne teori opstår gravitationen fra rumtidens krumning, som får genstande til at bevæge sig som om de blev trukket af en kraft. Omvendt forårsages krumningen af tilstedeværelsen af stof og energi. Ifølge Einsteins ligninger vil en tilstrækkelig tæt koncentration af stof eller energi krumme rumtiden så ekstremt, at den splittes og danner et sort hul. Relativitetens love forbyder alt, der falder ind i et sort hul, at komme ud igen, i det mindste indenfor den klassiske (ikke-kvante) beskrivelse af fysikken. Punktet for ingen tilbagevenden, kaldet det sorte huls begivenhedshorisont, er af afgørende betydning. I det enkleste tilfælde er horisonten en kugle, hvis overfladeareal er større for mere massive sorte huller.
Det er umuligt at bestemme, hvad der er inde i et sort hul. Ingen detaljeret information kan dukke frem over horisonten og undslippe til den ydre verden. Når et stykke stof for evigt forsvinder ind i et sort hul, efterlader det imidlertid nogle spor. Dets energi (vi regner enhver masse for energi i overensstemmelse med Einsteins E = mc2) afspejles permanent i en forøgelse af det sorte huls masse. Hvis stoffet indfanges mens det cirkler omkring hullet, lægges dets impulsmoment til det sorte huls impulsmoment. Både massen og impulsmomentet kan måles ud fra deres virkninger på rumtiden omkring hullet. På denne måde opretholdes lovene om bevarelse af energi og impulsmoment af sorte huller. En anden fundamental lov, termodynamikkens anden lov, synes at blive overtrådt. Termodynamikkens anden lov opsummerer den velkendte observation, at de fleste processer i naturen er irreversible: en tekop falder fra bordet og splintres, men ingen har nogensinde set skårene springe op af sig selv og samle sig til en tekop. Termodynamikkens anden lov forbyder sådanne omvendte processer. Den erklærer, at et isoleret fysisk systems entropi aldrig kan aftage; entropien forbliver højst konstant og sædvanligvis tiltager den. Denne lov er central i fysisk kemi og ingeniørvirksomhed; man kan argumentere for, at den er den fysiske lov, der har størst betydning udenfor fysikken. Som det først blev understreget af Wheeler, er stoffets entropi forsvundet for altid, når det forsvinder ind i et sort hul og den anden lov forekommer at være overskredet, gjort irrelevant. Et fingerpeg til at løse denne gåde kom i 1970, da Demetrious Christodoulou, som da var graduate student hos Wheeler på Princeton, og Stephen Hawking fra University of Cambridge uafhængigt af hinanden beviste, at i forskellige processer, som sammensmeltningen af sorte huller, aftager begivenhedshorisonternes totale areal aldrig. Analogien med entropiens tendens til at tiltage førte mig i 1972 til at foreslå, at et sort hul har entropi proportionalt med arealet af dets horisont. Jeg gisnede, at når stof falder ind i et sort hul kompenserer eller overkompenserer entropien altid for stoffets ”tabte” entropi. Mere alment, summen af sort hul entropier og den almindelige entropi udenfor de sorte huller kan ikke aftage. Dette er den almene anden lov – GSL forkortet.
Grænser for informationstæthed
GSL har bestået et stort antal strenge, omend helt teoretiske, prøver. Når en stjerne kollapser og danner et sort hul, overstiger det sorte huls entropi langt stjernens entropi. I 1974 demonstrerede Hawking, at et sort hul spontant udstråler termisk stråling, nu kendt som Hawking stråling, gennem en kvanteproces [se ”The Quantum Mechanics of Black Holes,” af Stephen W. Hawking; Scientific American, januar 1977][Sorte hullers kvantemekanik]. Christodoulou-Hawking sætningen fejler overfor dette fænomen (det sorte huls masse, og derfor dets horisontareal, aftager), men GSL hamler op med det: den opståede stråling mere end kompenserer for formindskelsen af sort hul entropi, så GSL er bevaret. I 1986 udnyttede Rafael D. Sorkin fra Syracuse University horisontens rolle i at spærre for at information inde i det sorte hul øver inflydelse på ting udenfor til at vise, at GSL (eller noget meget lig den) må gælde for enhver tænkelig proces, som sorte huller gennemgår. Hans dybe argument gør det klart, at entropien, der indgår i GSL, er den, der er beregnet ned til niveau X, hvad så end det niveau er. Hawkings stråleproces tillod ham at bestemme proportionalitetskonstanten mellem sort hul entropi og horisontareal: sort hul entropi er præcist en fjerdedel af begivenhedshorisontens areal målt i Planck arealer. (Planck længden, omkring 10-33 centimeter, er den fundamentale længdeskala forbundet med gravitation og kvantemekanik. Planck arealet er dens kvadrat.) Selv i termodynamiske vilkår er dette en enorm mængde entropi. Entropien af et sort hul, som er en centimeter i diameter, ville være omkring 1066 bits, omkring det samme som den termodynamiske entropi af en terning vand, hvis sider er 10 milliarder kilometer.
GSL tillader os at sætte grænser for ethvert fysisk systems informationskapacitet, grænser der henviser til information på alle strukturniveauer ned til niveau X. I 1980 begyndte jeg at studere den første sådanne grænse, kaldet den universelle entropi grænse, som begrænser, hvor megen entropi der kan bæres af en specificeret masse af en specificeret størrelse. En relateret ide, den holografiske grænse, blev anvist i 1995 af Leonard Susskind fra Stanford University. Den begrænser, hvor megen entropi der kan indeholdes i stof og energi, der optager et specificeret rumfang af rummet. I sit arbejde med den holografiske grænse overvejede Susskind enhver tilnærmet kugleformet, isoleret masse, der ikke selv er et sort hul og som passer inde i en lukket overflade med areal A. Hvis massen kan kollapse til et sort hul, vil det hul ende med et horisontareal mindre end A. Sort hul entropien er derfor mindre end A/4. Ifølge GSL kan systemets entropi ikke aftage, så massens oprindelige entropi kan ikke have været større end A/4. Det følger, at et isoleret systems entropi med grænseareal A nødvendigvis er mindre end A/4. Hvad hvis massen ikke kollapser spontant? I 2000 viste jeg, at et lille sort hul kan bruges til at omsætte systemet til et sort hul, der ikke er meget anderledes end det, der er i Susskinds argument. Grænsen er derfor uafhængig af systemets beskaffenhed eller af naturen af niveau X. Den afhænger kun af GSL. Vi kan nu besvare nogle af de flygtige spørgsmål om de endelige grænser for oplagring af information. En anordning, der måler en centimeter i tværsnit kunne i princippet indeholde op til 1066 bits – en svimlende mængde. Det synlige univers indeholder mindst 10100 bits entropi, som i princippet kunne pakkes sammen i en kugle, der var en tiendedel lysår i tværsnit. Det er imidlertid en vanskelig opgave at vurdere universets entropi og meget større tal, der kræver en kugle næsten så stor som selve universet, er helt plausible.
Informationsindholdet i en stak computerchips tiltager i forhold til antallet af chips eller, ækvivalent, rumfanget de optager. Den enkle regel skal bryde sammen for en stor nok stak chips, fordi informationen efterhånden ville overskride den holografiske grænse, som afhænger af overfladearealet, ikke rumfanget. ”Sammenbruddet” sker, når den umådelige stak chips kollapser og danner et sort hul.
Men det er en anden side af den holografiske grænse, der er virkelig forbavsende. Nemlig, at den maksimalt mulige entropi afhænger af grænsearealet istedet for rumfanget. Forestil dig, at vi stabler computer hukommelseschips op i en stor bunke. Antallet af transistorer – den totale dataoplagringskapacitet – tiltager med bunkens rumfang. Det gør alle chips’enes totale termodynamiske entropi også. Det er imidlertid bemærkelsesværdigt, at den teoretiske endelige informationskapacitet af det rum, der er optaget af bunken, kun tiltager med overfladens areal. Fordi rumfang tiltager hurtigere end overfladeareal, ville alle chips’enes entropi på et punkt overskride den holografiske grænse. Det ser ud som om, at enten GSL eller vor sunde fornufts ideer om entropi og informationskapacitet skal fejle. Faktisk er det, der fejler, bunken selv: den ville kollapse under sin egen gravitation og danne et sort hul før den blindgyde blev nået. Derefter ville hver yderligere hukommelseschip forøge massen og det sorte huls overfladeareal på en måde, som ville fortsætte med at bevare GSL. Dette overraskende resultat – at informationskapacitet afhænger af overfladeareal – har en naturlig forklaring, hvis det holografiske princip (foreslået i 1993 af nobelpristager Gerard ’t Hooft fra University of Utrecht i Nederlandene og udviklet nærmere af Susskind) er sandt. I hverdagens verden er et hologram en særlig slags fotografi, der frembringer et fuldt tredimensional billede, når det belyses på den rigtige måde. Al informationen, der beskriver 3-D scenen, er indkodet i mønstret af lyse og mørke områder på det todimensionale stykke film, klar til at blive gendannet. Det holografiske princip forfægter, at en analog til denne visuelle magi gælder for den fulde fysiske beskrivelse af ethvert system, der besætter et 3-D område: det foreslår, at en anden fysisk teori, som kun er defineret på 2-D grænsen af området beskriver 3-D fysikken fuldstændigt. Hvis et 3-D system kan beskrives fuldt ud af en fysisk teori, der alene virker på dets 2-D grænse, ville man forvente, at systemets informationsindhold ikke oversteg informationsindholdet af beskrivelsen på grænsen.
Et univers malet på sin grænse
Kan vi anvende det holografiske princip på universet som helhed? Det virkelige univers er et 4-D system: det har rumfang og strækker sig i tiden. Hvis vort univers’ fysik er holografisk, ville der være et alternativt sæt love, der virkede på en 3-D grænse for rumtiden et eller andet sted, som ville være ækvivalent til vor kendte 4-D fysik. Vi kender endnu ikke til nogen sådan 3-D teori, der virker på den måde. Ja, hvilken overflade skulle vi bruge som universets grænse? Et trin mod at virkeliggøre disse ideer er at studere modeller, der er enklere end vort virkelige univers. En klasse konkrete eksempler på det holografiske princip i arbejde involverer såkaldte anti-de Sitter rumtider. Den oprindelige de Sitter rumtid er et modelunivers først opnået af den hollandske astronom Willem de Sitter i 1917 som en løsning på Einsteins ligninger, inkluderende den frastødende kraft kendt som den kosmologiske konstant. De Sitter rumtid er tom, ekspanderer med accelererende hastighed og er yderst symmetrisk. I 1997 konkluderede astronomer, der studerede fjerne supernovaeksplosioner, at vort univers nu ekspanderer på en accelereret måde og sandsynligvis vil blive mere og mere som en de Sitter rumtid i fremtiden. Hvis nu den frastødende kosmologiske konstant erstattes af en tiltrækkende, bliver de Sitters løsning til anti-de Sitter rumtid, som har ligeså megen symmetri. Mere vigtigt for det holografiske begreb besidder den en grænse, som er placeret ”ved uendeligt” og er meget som vor dagligdags rumtid. Ved brug af anti-de Sitter rumtid har teoretikere udtænkt et konkret eksempel på det holografiske princip i arbejde: et univers beskrevet af superstreng teori der fungerer i en anti-de Sitter rumtid er fuldstændig ækvivalent til en kvantefeltteori der virker på grænsen af den rumtid. Således er hele det majestætiske ved superstreng teori i et anti-de Sitter univers malet på universets grænse. Juan Maldacena, som da var på Harvard University, gættede sig først til en sådan relation i 1997 for 5-D anti-de Sitter tilfældet og det blev senere bekræftet for mange situationer af Edward Witten fra Institute for Advanced Study i Princeton, N.J. og Steven S. Gubser, Igor R. Klebanov og Alexander M. Polyakov fra Princeton University. Eksempler på denne holografiske overensstemmelse kendes nu for rumtider med en variation af dimensioner. Dette resultat betyder, at to tilsyneladende meget forskellige teorier – som ikke engang virker i rum med samme dimension – er ækvivalente. Skabninger, der lever i et af disse universer, ville være ude af stand til at bestemme om de beboede et 5-D univers beskrevet af strengteori eller et 4-D univers beskrevet af kvantefelt teori for punktpartikler. (Selvfølgelig kunne deres hjerners struktur måske give dem en overvældende ”sund fornuft” forudindtagethed til fordel for en eller anden beskrivelse, på nøjagtig samme måde som vore hjerner konstruerer en instinktiv opfattelse af, at vort univers har tre rumlige dimensioner.)
En holografisk rumtid
Den holografiske ækvivalens kan tillade, at en vanskelig beregning i 4-D grænse rumtiden, som kvarkers og gluoners adfærd, erstattes af en anden, nemmere beregning i den yderst symmetriske, 5-D anti-de Sitter rumtid. Overensstemmelsen virker også den anden vej. Witten har vist, at et sort hul i anti-de Sitter rumtid svarer til varm stråling i den alternative fysik, der virker på grænserumtiden. Hullets entropi – et dybt mystisk begreb – er lig med strålingens entropi, som er helt jordisk.
Da 5-D anti-de Sitter universet er yderst symmetrisk og tomt, er det næppe som vort univers, der eksisterer i 4-D, er fyldt med stof og stråling og gennemhullet af voldsomme begivenheder. Selv hvis vi tilnærmer vort virkelige univers med et, der har stof og stråling spredt ensartet over det hele, får vi ikke et anti-de Sitter univers men snarere et ”Friedman-Robertson-Walker” univers. De fleste kosmologer er idag enige om, at vort univers minder om et FRW univers, der er uendeligt, ikke har nogen grænse og vil fortsætte med at ekspandere i det uendelige. Er et sådant univers i overensstemmelse med det holografiske princip eller den holografiske grænse? Susskinds argument, baseret på kollaps til et sort hul, er ikke til nogen hjælp her. Faktisk skal den holografiske grænse bryde sammen i et ensartet ekspanderende univers. Entropien af et område, der er ensartet fyldt af stof og stråling, er virkelig proportional med dets rumfang. Et tilstrækkeligt stort område vil derfor overtræde den holografiske grænse. I 1999 foreslog Raphael Bousso, da på Stanford, en modificeret holografisk grænse, som man siden har fundet virker selv i situationer, hvor grænserne, vi diskuterede tidligere, ikke kan anvendes. Boussos formulering begynder med enhver passende 2-D overflade; den kan være lukket som en kugle eller åben som et ark papir. Så forestiller man sig et kort udbrud af lys der udsendes samtidigt og vinkelret overalt fra en side af overfladen. Det eneste krav er, at de imaginære lysstråler konvergerer fra begyndelsen. Lys udsendt fra den indre overflade af en kugleformet skal tilfredsstiller f.eks. det krav. Man overvejer så entropien af stoffet og strålingen, som disse imaginære stråler gennemrejser, frem til punkterne, hvor de begynder at krydse hinanden. Bousso gisnede, at denne entropi ikke kan overstige den entropi, der repræsenteres af startoverfladen – en fjerdedel af dens areal, målt i Planck arealer. Dette er en andeledes måde at opgøre entropien på end den, der bruges i den oprindelige holografiske grænse. Boussos grænse refererer ikke til et områdes entropi på ét tidspunkt, men snarere til summen af entropier på steder og på en variation af tidspunkter: dem som ”belyses” af lysudbruddet fra overfladen. Boussos grænse indordner andre entropigrænser, mens den undgår deres begrænsninger. Både den universelle entropigrænse og ’t Hooft-Susskind formen for den holografiske grænse kan udledes af Boussos for ethvert isoleret system, der ikke udvikler sig hurtigt og hvis gravitationsfelt ikke er stærkt. Når disse betingelser overskrides – som for en kollapsende kugle af stof, der allerede er inde i et sort hul – fejler disse grænser efterhånden, hvorimod Boussos grænse fortsætter med at virke. Bousso har også vist, at hans strategi kan bruges til at lokalisere 2-D overfladerne, på hvilke hologrammer af verden kan sættes op.
Forskere har foreslået mange andre entropigrænser. Knopskydningen af variationer af det holografiske motiv gør det klart, at emnet endnu ikke har nået status som fysisk lov. Men selv om den holografiske tænkemåde endnu ikke er fuldt forstået, forekommer den at være her for at blive. Og med den kommer en erkendelse af, at den fundamentale tro, som har været udbredt i 50 år, at feltteorien er fysikkens endelige sprog, må give efter. Felter som det elektromagnetiske felt varierer kontinuerligt fra punkt til punkt og derved beskriver de en uendelighed af frihedsgrader. Superstrengteori antager også et uendeligt antal frihedsgrader. Holografi begrænser antallet af frihedsgrader, der kan være tilstede inde i en afgrænsende overflade til et endeligt antal; feltteorien med dens uendelighed kan ikke være den endelige fortælling. Selv om uendeligheden tæmmes, skal informationens mystiske afhængighed af overfladeareal endvidere tilpasses.
Holografi kan vise vej til en bedre teori. Hvordan er den fundamentale teori? Kæden af fornuftsslutninger, der involverer holografi, antyder over for nogle, især Lee Smolin fra Perimeter Institute for Theoretical Physics i Waterloo, Ontario, at en sådan endelig teori ikke skal dreje sig om felter, endda ikke om rumtid, men snarere om informationsudveksling mellem fysiske processer. Hvis det er sådan, vil visionen om information, som det stof verden er lavet af, have fundet en værdig virkeliggørelse.
Mere at udforske
Black Hole Thermodynamics. Jacob D. Bekenstein i Physics Today, Vol. 33, No. 1, siderne 24-31; januar 1980.
Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy. Kip S. Thorne. W.W. Norton, 1995.
Black Holes and the Information Paradox. Leonard Susskind i Scientific American, Vol. 276, No. 4, siderne 52-57; april 1997.
The Universe in a Nutshell. Stephen Hawking. Bantam Books, 2001.
Three Roads to Quantum Gravity. Lee Smolin. Basic Books, 2002.
* Jacob D. Bekenstein har bidraget til grundlæggelsen af sort hul termodynamik og til andre sider af forbindelserne mellem information og gravitation. Han er Polak Professor of Theoretical Physics på Hebrew University of Jerusalem, medlem af Israel Academy of Sciences and Humanities og modtager af Rothschild og Israel priserne. Bekenstein dedikerer denne artikel til John Archibald Wheeler (hans Ph.D. supervisor for 30 år siden). Wheeler tilhører den tredje generation af Ludwig Boltzmanns studerende: Wheelers Ph.D. rådgiver, Karl Herzfeld, var studerende hos Boltzmanns studerende Friedrich Hasenöhrl. Oprindelige illustrationer af Alfred T. Kamajian.
Fra Information in the Holographic Universe, Scientific American: The Frontiers of Physics, februar 2006, siderne 74-81.
8. juni 2007.
|
