Sandsynlighedsamplituder

Richard Feynman

Indhold:

Lovene for kombination af amplituder
To-spalte interferensmønstret

Den matematiske formalisme vises i transparente gifs.

Lovene for kombination af amplituder

Da Schrödinger først opdagede kvantemekanikkens korrekte love, skrev han en ligning, som beskrev amplituden for at finde en partikel på forskellige steder. Denne ligning var meget lig de ligninger, som klassiske fysikere allerede kendte - ligninger, som de havde brugt til at beskrive luftens bevægelse i en lydbølge, transmissionen af lys, og så videre. Så i kvantemekanikkens begyndelse blev det meste af tiden brugt til at løse denne ligning. Men samtidigt udvikledes en forståelse, især af Born og Dirac, af de grundlæggende nye fysiske ideer bag kvantemekanikken. Efterhånden som kvantemekanikken udvikledes yderligere, viste det sig, at der var et stort antal ting, som ikke direkte var omfattet af Schrödingerligningen - som elektronens spin og forskellige relativistiske fænomener. Traditionelt er alle kurser i kvantemekanik begyndt på samme måde, ved at følge stien, som blev fulgt i emnets historiske udvikling. Først lærer man en masse om klassisk mekanik, så man kan forstå, hvordan man skal løse Schrödingerligningen. Så bruger man lang tid på at udarbejde forskellige løsninger. Først efter et detaljeret studium af denne ligning kommer man til elektronspinnets "avancerede" emne.
    Oprindeligt overvejede vi også om den rigtige måde at afslutte disse forelæsninger på var at vise, hvordan man løser den klassiske mekaniks ligninger i komplicerede situationer - som beskrivelsen af lydbølger i indelukkede områder, den elektromagnetiske strålings modaliteter i cylindriske kaviteter og så videre. Det var den oprindelige plan for dette kursus. Vi har imidlertid besluttet at opgive den plan og i stedet give en introduktion til kvantemekanikken. Vi er kommet til den konklusion, at det, der sædvanligvis kaldes kvantemekanikkens avancerede dele, faktisk er temmelig enkle. Den involverede matematik er særlig enkel og involverer enkle algebraiske operationer og ingen differentialligninger eller højst blot nogle meget enkle. Det eneste problem er, at vi må overvinde det gab, at vi ikke længere er i stand til at beskrive partiklernes detaljerede adfærd i rummet. Så dette er, hvad vi vil prøve at gøre: at fortælle dig om, hvad man konventionelt ville kalde kvantemekanikkens "avancerede" dele. Men vi forsikrer dig om, at de - i en dyb forstand af ordet - er de enkleste dele såvel som de mest grundlæggende dele. Ærligt talt er dette et pædagogisk eksperiment; så vidt vi ved, er det aldrig blevet gjort før.
    Indenfor dette emne har vi selvfølgelig den vanskelighed, at tingenes kvantemekaniske adfærd er temmelig mærkelig. Ingen har en dagligdags erfaring at læne sig op af for at få en grov, intuitiv ide om, hvad der vil ske. Derfor er der to måder, hvorpå man kan præsentere emnet: Vi kunne enten beskrive, hvad der kunne ske på en temmelig grov fysisk måde, hvor vi mere eller mindre fortalte, hvad der sker uden at give de præcise love for alt; eller på den anden side kunne vi give de præcise love i deres abstrakte form. Men på grund af abstraktionerne ville man ikke vide, hvad de handlede om, fysisk. Den sidste metode er utilfredsstillende, fordi den er fuldstændig abstrakt og den første efterlader en ubehagelig følelse, fordi man ikke ved, hvad der er sandt og hvad der er forkert. Vi er ikke sikre på, hvordan vi overvinder denne vanskelighed. I vil bemærke, at Kapitel 1 og 2 fremviste dette problem. Det første kapitel var relativt præcist; men det andet kapitel var en grov beskrivelse af forskellige fænomeners karakteristika. Her vil vi prøve på at finde en gylden middelvej mellem de to ekstremer.
    I dette kapitel vil vi begynde med at behandle nogle almene kvantemekaniske ideer. Nogle af erklæringerne vil være temmelig præcise, andre kun delvist præcise. Undervejs vil det være vanskeligt at fortælle dig, hvad der er hvad, men når du har afsluttet resten af bogen, vil du, ved at se tilbage, forstå, hvilke dele der holder og hvilke dele, der kun blev forklaret groft. Kapitlerne efter dette vil ikke være så unøjagtige. Faktisk er en af grundene til, at vi har prøvet på at være præcise i de efterfølgende kapitler, at vi kan vise dig en af de smukkeste sider af kvantemekanikken - hvor meget man kan udlede fra så lidt.

Fig. 1. Interferenseksperiment med elektroner.

    Vi begynder med igen at diskutere overlejringen af sandsynlighedsamplituder. Som eksempel vil vi referere til eksperimentet, der blev diskuteret i Kapitel 1 og vist igen her i Fig. 1. Der er en kilde til partikler s, lad os sige elektroner; så er der en væg med to spalter; efter væggen er der en detektor, som er placeret på en position x. Vi spørger om sandsynligheden for, at en partikel vil blive fundet ved x. Vores første almene princip i kvantemekanik er, at sandsynligheden for, at en partikel vil ankomme ved x, når den slippes ud ved kilden s, kan repræsenteres kvantitativt af det absolutte kvadrat af et komplekst tal kaldet en sansynlighedsamplitude - i dette tilfælde "amplituden, at en partikel fra s vil ankomme ved x. Vi vil bruge sådanne amplituder så ofte, at vi vil benytte en kort beskrivelse - opfundet af Dirac og alment brugt i kvantemekanik - til at repræsentere denne ide. Vi skriver sandsynlighedsamplituden på denne måde:

Med andre ord er de to klammer <> et tegn, som svarer til "amplituden at"; udtrykket på højre side af den lodrette linie giver altid startforholdet og udtrykket på venstre side giver det afsluttende forhold. Det vil sommetider også være passende at forkorte endnu mere og beskrive begyndelsens og afslutningens forhold med enkelte bogstaver. For eksempel kan vi i visse tilfælde skrive amplituden (3.1) som

Vi ønsker at understrege, at en sådan amplitude selvfølgelig kun er et enkelt tal - et komplekst tal.
    Vi har allerede i diskussionen i Kapitel 1 set, at når der er to måder, hvorpå partiklen kan nå detektoren, så er den resulterende sandsynlighed ikke summen af de to sandsynligheder, men skal skrives som det absolutte kvadrat på summen af de to amplituder. Vi fik, at sandsynligheden for, at en elektron ankommer ved detektoren, når begge veje er åbne, er

Vi ønsker nu at udtrykke dette resultat ved hjælp af vores nye notation. Først ønsker vi i imidlertid at erklære vort andet almene princip for kvantemekanik: Når en partikel kan opnå en given tilstand ad to alternative veje, er den totale amplitude for processen summen af amplituderne for de to veje betragtet separat. I vores nye notation kan vi skrive, at

Forresten antager vi, at hullerne 1 og 2 er så små, at når vi siger en elektron går gennem hullet, behøver vi ikke at diskutere, hvilken del af hullet den går igennem. Vi kunne selvfølgelig opdele hvert hul i stykker med en bestemt amplitude for, at hver elektron går til toppen af hullet og bunden af hullet og så videre. Vi vil antage, at hullet er så lille, at vi ikke behøver at bekymre os om denne detalje. Det er del af den involverede grovhed; spørgsmålet kan gøres mere præcist, men det ønsker vi ikke på dette trin.
    Nu vil vi gerne udskrive mere detaljeret, hvad vi kan sige om amplituden for processen, i hvilken elektronen når detektoren ved x gennem hul 1. Det kan vi gøre ved at bruge vort tredje almene princip: Når en partikel bevæger sig ad en særlig rute, kan amplituden for den rute skrives som produktet af amplituden for at gå en del af vejen med amplituden for at gå resten af vejen. For opstillingen i Fig. 1 er amplituden for at gå fra s til x gennem hul 1 lig med amplituden for at gå fra s til 1, ganget med amplituden for at gå fra 1 til x.

Igen er dette resultat ikke fuldstændig præcist. Vi burde også inkludere en faktor for amplituden, at elektronen vil gå gennem hullet ved 1; men i dette tilfælde er det et enkelt hul og vi antager, at denne faktor er enhed.
    Man vil bemærke, at Lign. (3.5) forekommer at være skrevet i omvendt rækkefølge. Den skal læses fra højre mod venstre: elektronen går fra s til 1 og så fra 1 til x. Opsummering: hvis begivenhederne sker efter hinanden - dvs., hvis man kan analysere en af partiklens ruter ved at sige, at den gør det, så gør den det og så gør den det - beregnes den resulterende amplitude for den rute ved at gange amplituden for hver af de på hinanden følgende begivenheder i rækkefølge. Ved at bruge denne lov kan vi omskrive Lign. (3.4) som

Fig. 2. Et mere kompliceret interferenseksperiment.

Nu ønsker vi at vise, at vi, ved kun at bruge disse principper, kan beregne et meget mere kompliceret problem som det, der er vist i Fig. 2. Her har vi to vægge, en med to huller, 1 og 2, og en anden, som har tre huller, a, b og c. Bag den anden væg er der en detektor ved x og vi ønsker at kende amplituden for, at en partikel vil ankomme der. Godt, en måde man kan finde ud af det på er at beregne overlejringen, eller interferensen, af de bølger, der går igennem, men man kan også gøre det ved at sige, at der er seks mulige ruter og overlejre en amplitude for hver. Elektronen kan gå gennem hul1, så gennem hul a og så til x; eller den kunne gå gennem hul 1, så gennem hul b og så til x; og så videre. Ifølge vort andet princip adderer amplituderne for alternative ruter, så vi burde kunne skrive amplituden fra s til x som en sum af seks separate amplituder. Ved at bruge det tredje princip kan hver af disse separate amplituder på den anden side skrives som et produkt af tre amplituder. For eksempel er en af dem amplituden for s til 1 gange amplituden for 1 til a, gange amplituden for a til x. Ved brug af vor forkortede notation kan vi skrive den fuldstændige amplitude for at gå fra s til x som

Vi kan spare på skrivningen ved at bruge sum notationen

For at udføre beregninger ved brug af disse metoder er det naturligvis nødvendigt at kende amplituden for at komme fra et sted til et andet. Vi vil give en grov ide om en typisk amplitude. Den udelader visse ting som lysets polarisering eller elektronens spin, men bortset fra sådanne egenskaber er den temmelig nøjagtig. Vi giver den, så man kan løse opgaver involverende forskellige kombinationer af spalter. Antag, at en partikel med en bestemt energi bevæger sig i det tomme rum fra et sted r₁ til et sted r₂. Med andre ord er det en fri partikel, som ingen kræfter virker på. Undtaget en numerisk faktor foran er amplituden for at gå fra r₁ til r₂

hvor r₁₂ = r₂ - r₁ og p er bevægelsesmængden, som er relateret til energien E ved den relativistiske ligning

eller den ikke-relativistiske ligning

Ligning (3.7) siger i praksis, at partiklen har bølgelignende egenskaber og at amplituden udbreder sig som en bølge med et bølgetal, der er lig med bevægelsesmængden divideret med .
    I det mest almene tilfælde vil amplituden og den tilsvarende sandsynlighed også involvere tiden. I de fleste af disse begyndende diskussioner vil vi antage, at kilden altid udsender partiklerne med en given energi, så vi ikke behøver at bekymre os om tiden. Men vi kunne, i det almene tilfælde, være interesserede i nogle andre spørgsmål. Antag, at en partikel slippes løs på et bestemt sted P til et bestemt tidspunkt og at man gerne ville kende amplituden for at den ankom et sted, lad os sige r, til et senere tidspunkt. Dette kunne symbolsk repræsenteres som amplituden r,t = t₁ | P,t = 0. Det er klart, at den vil afhænge af både r og t. Man vil få forskellige resultater, hvis man anbringer detektoren forskellige steder og måler til forskellige tidspunkter. Denne funktion af r og t tilfredsstiller alment en differentialligning, som er en bølgeligning. I f.eks. et ikke-relativistisk tilfælde er det Schrödingerligningen. Så har man en ligning, der er analog med ligningen for elektromagnetiske bølger eller lydbølger i en luftart. Det skal imidlertid understreges, at den bølgefunktion, der tilfredsstiller ligningen, ikke er en virkelig bølge i rummet; man kan ikke forestille sig denne bølge som virkelig som man gør med en lydbølge.
    Skønt man kunne være fristet til at tænke ved hjælp af "partikelbølger," når man behandler en partikel, er det ikke en god ide, for hvis der er, lad os sige, to partikler, er amplituden for at finde en ved r₁ og den anden ved r₂ ikke en enkel bølge i det tredimensionale rum, men den afhænger af de seks rumvariabler r₁ og r₂. Hvis vi, f.eks., behandler to (eller flere) partikler, vil vi behøve følgende yderligere princip: Forudsat at de to partikler ikke vekselvirker, er amplituden for, at en partikel vil gøre en ting og den anden gøre noget andet produktet af de to amplituder, at de to partikler ville gøre de to ting adskilt. Hvis, f.eks. a| s₁ er amplituden for at partikel 1 går fra s₁ til a og b| s₂ er amplituden for at partikel 2 går fra s₂ til b, så er amplituden for at begge ting vil ske sammen

    Der er et punkt mere, der skal understreges. Antag, at vi ikke vidste, hvor partiklerne i Fig. 2 kom fra, før de ankom ved hullerne 1 og 2 i den første væg. Så kan vi stadig lave en forudsigelse af, hvad der vil ske på den anden side af væggen (for eksempel amplituden for at ankomme ved x) forudsat, at vi gives to tal: amplituden for at være ankommet ved 1 og amplituden for at være ankommet ved 2. Med andre ord: På grund af den kendsgerning at amplituden for på hinanden følgende begivenheder ganges, som vist i Lign. (3.6), er alt hvad man behøver at vide for at fortsætte analysen to tal - i dette særlige tilfælde 1| s og 2| s. Disse to komplekse tal er nok til at forudsige hele fremtiden. Det er det, der virkelig gør kvantemekanik nem. Det viser sig, at vi i senere kapitler vil gøre netop det når vi specificerer en begyndelsestilstand ved hjælp af to (eller nogle få) tal. Disse tal afhænger selvfølgelig af, hvor kilden er placeret og muligvis af andre detaljer om apparaturet, men givet de to tal, behøver vi ikke vide mere om sådanne detaljer.

Fig. 3. Et eksperiment til bestemmelse af hvilket hul elektronen går igennem.

To-spalte interferensmønstret

Nu vil vi gerne overveje et spørgsmål, som blev diskuteret i nogen detalje i Kapitel 1. Denne gang vil vi gøre det med amplitude ideens fulde pragt for at vise jer, hvordan den virker. Vi tager det samme eksperiment, som er vist i Fig. 1, men nu med tilføjelsen af en lyskilde bag de to huller, som vist i Fig. 3. I Kapitel 1 opdagede vi følgende interessante resultat. Hvis vi så bag spalte 1 og så en foton spredt derfra, så var fordelingen, der blev opnået for elektronerne ved x i overensstemmelse med disse fotoner, den samme, som hvis spalte 2 var lukket. Den totale fordeling for elektroner, der var blevet "set" ved enten spalte 1 eller spalte 2, var summen af de adskilte fordelinger og var fuldstændig forskellig fra distributionen med lyset slukket. Det var sandt, i det mindste hvis vi brugte lys af en tilstrækkelig kort bølgelængde. Hvis bølgelængden blev gjort længere, så vi ikke kunne være sikre på, ved hvilket hul spredningen havde fundet sted, så blev fordelingen mere lig den, der var med lyset slukket. Lad os undersøge hvad der sker ved at bruge vor nye notation og principperne med at kombinere amplituder. For at forenkle opskrivningen kan vi igen lade ø₁ stå for amplituden for, at elektronen vil ankomme til x gennem hul 1, dvs.,

På samme måde vil vi lade ø₂ stå for amplituden for, at elektronen kommer til detektoren gennem hul 2:

Disse er amplituderne for at gå gennem de to huller og ankomme ved x, hvis der ikke er noget lys. Hvis der nu er lys, stiller vi os selv spørgsmålet: Hvad er amplituden for processen, i hvilken elektronen starter ved s og en foton frigøres af lyskilden L, ender med elektronen ved x og en foton set bag spalte 1? Antag, at vi observerer fotonen bag spalte 1 ved hjælp af en detektor D₁, som vist i Fig. 3 og bruger en lignende detektor D₂ til at tælle fotoner, som spredes bag hul 2. Der vil være en amplitude for, at en foton ankommer ved D₁ og en elektron ved x og også en amplitude for at en foton ankommer ved D₂ og en elektron ved x. Lad os prøve at beregne dem.
    Skønt vi ikke har de korrekte matematiske formler for alle de faktorer, der indgår i denne beregning, vil man se ånden af den i den følgende diskussion. For det første er der amplituden 1| s , at en elektron går fra kilden til hul 1. Så kan vi antage, at der er en vis amplitude, at mens elektronen er ved hul 1, spreder den en foton ind i detektoren D₁. Lad os repræsentere denne amplitude ved a. Så er der amplituden x| 1, at elektronen går fra spalte 1 til elektrondetektoren ved x. Amplituden, at elektronen går fra s til x via spalte 1 og spreder en foton, er da

Eller i vor tidligere notation er den blot aø₁.
    Der er også en amplitude, at en elektron, der går gennem spalte 2, vil sprede en foton ind i tæller D₁. I siger, "Det er umuligt, hvordan kan den sprede ind i tæller D₁, hvis den kun ser på hul 1?." Hvis bølgelængden er lang nok, er der diffraktionsvirkninger og det er bestemt muligt. Hvis apparaturet er bygget godt og vi bruger fotoner med kort bølgelængde, så er amplituden, at en foton vil blive spredt ind i detektor 1 fra en elektron ved 2, meget lille. Men for at holde diskussionen almen ønsker vi at tage i betragtning, at der altid er en sådan amplitude, som vi vil kalde b. Så er amplituden, at en elektron går via spalte 2 og spreder en foton ind i D₁

    Amplituden for at finde elektronen ved x og fotonen i D₁ er summen af to termer, en for hver mulig vej for elektronen. Hver term udgøres af to faktorer; for det første at elektronen gik gennem et hul og for det andet at fotonen spredes af en sådan elektron ind i detektor 1; vi har

    Vi kan få et lignende udtryk, når fotonen findes i den anden detektor, D₂. Hvis vi af hensyn til enkeltheden antager, at systemet er symmetrisk, så er a også amplituden for en foton i D₂ når en elektron passerer gennem hul 2 og b er amplituden for en foton i D₂, når en elektron passerer gennem hul 1. Den tilsvarende totale amplitude for en foton ved D₂ og en elektron ved x er

    Nu er vi færdige. Vi kan nemt beregne sandsynligheden for forskellige situationer. Antag, at vi ønsker at vide, med hvilken sandsynlighed vi får en tælling i D₁ og en elektron ved x. Det vil være det absolutte kvadrat af amplituden givet i Lign. (3.8) nemlig |aø₁ + bø₂|². Lad os se mere omhyggeligt på dette udtryk. For det første, hvis b er nul - hvilket er den måde, vi ønsker at bygge apparaturet på - så er svaret helt enkelt |ø₁|² formindsket i total amplitude af faktoren |a|². Dette er sandsynlighedsfordelingen man ville få, hvis der kun var et hul - som vist i grafen på Fig. 4(a). Hvis, på den anden side, bølgelængden er meget lang, kan spredningen bag hul 2 ind i D₁ være næsten den samme som for hul 1. Skønt der kan være nogle faser involveret i a og b, kan vi spørge om et enkelt tilfælde, i hvilket de to faser er ens. Hvis a praktisk talt er lig med b, så bliver den totale sandsynlighed |ø₁ + ø₂|² ganget med |a|², da den fælles faktor a kan fjernes. Dette er imidlertid blot den sandsynlighedsfordeling, vi ville have fået helt uden fotonerne. Derfor, i det tilfælde, hvor bølgelængden er meget lang - og foton detektionen ineffektiv -, vender man tilbage til den oprindelige distributionskurve, der viser interferensvirkninger, som vist i Fig. 4(b). I tilfælde af at detektionen er delvist effektiv, er der en interferens mellem en masse ø₁ og lidt af ø₂ og man vil få en mellemfordeling som skitseret i Fig. 4(c). Hvis vi ser efter sammenfaldstællinger af fotoner ved D₂ og elektroner ved x vil vi selvfølgelig få samme slags resultater. Hvis man husker diskussionen i Kapitel 1, vil man se, at disse resultater giver en kvantitativ beskrivelse af det, der blev beskrevet der.
    Nu vil vi gerne understrege et vigtigt punkt, så man undgår en almindelig fejl. Antag, at man ønsker amplituden for, at elektronen ankommer ved x, uanset om elektronen blev talt ved D₁ eller D₂. Bør man addere de amplituder, der blev givet i ligningerne (3.8) og (3.9)? Nej! Man må aldrig addere amplituder for forskellige og distinkte endelige tilstande. Når fotonen en gang er accepteret af en af fotontællerne, kan vi altid bestemme, hvilket alternativ der fandt sted, hvis vi ønsker det, uden nogen yderligere forstyrrelse af systemet. Hvert alternativ har en sandsynlighed helt uafhængigt af det andet. For at gentage det: adder ikke amplituder for forskellige endelige forhold, hvor vi ved "endelige" mener det øjeblik, hvor sandsynligheden ønskes - dvs. når eksperimentet er "færdigt." Man adderer amplituderne for de forskellige uskelnelige alternativer inde i eksperimentet, før den fuldstændige proces er afsluttet. Ved slutningen af processen kan man sige, at man "ikke ønsker at se på fotonen." Det er op til jer, men man adderer alligevel ikke amplituderne. Naturen ved ikke, hvad man kigger på og hun opfører sig på den måde hun gør, hvad enten man bekymrer sig om at notere data eller ej. Så her må vi ikke addere amplituderne. Først kvadrerer vi amplituderne for alle mulige forskellige afsluttende hændelser og summerer så. Det korrekte resultat for en elektron ved x og en foton ved enten D₁ eller D₂ er

Oversat fra Lectures on Physics, Vol. III, Quantum Behaviour, California Institute of Technology, Addison-Wesley, 1965.

12. februar, 2002.

Indhold
Index