Forholdet mellem bølge- og partikelsynspunkter

Richard Feynman

Indhold:

Sandsynligheds-bølge amplituder
Måling af position og bevægelsesmængde
Krystal diffraktion
Et atoms størrelse
Energiniveauer
Filosofiske betydninger

Sandsynligheds-bølge amplituder

I dette kapitel vil vi diskutere forholdet mellem bølge- og partikelsynspunkterne. Fra sidste kapitel ved vi allerede, at hverken bølgesynspunktet eller partikelsynspunktet er korrekte. Vi vil altid gerne fremstille tingene nøjagtigt eller i det mindste nøjagtigt nok til, at de ikke vil skulle ændres, når vi lærer mere - de kan udvides, men vil ikke blive ændret! Men når vi prøver at tale om bølgebilledet eller partikelbilledet, er de begge tilnærmede og begge vil ændre sig. Derfor vil det vi lærer i dette kapitel, i en vis forstand, ikke være nøjagtigt; vi vil beskæftige os med nogle halvt-intuitive argumenter, som vil blive gjort mere præcise senere. Men visse ting vil blive ændret en lille smule, når vi tolker dem korrekt i kvantemekanik. Vi gør dette for, at man kan have lidt kvantitativ føling med nogle kvantefænomener, før vi kommer ind i kvantemekanikkens matematiske detaljer. Endvidere er alle vore erfaringer med bølger og partikler og derfor er det temmelig praktisk at bruge bølge- og partikelideerne for at få en forståelse af, hvad der sker under givne omstændigheder, før vi kender den fuldstændige matematik for kvantemekaniske amplituder. Vi vil prøve at pege på de svageste steder undervejs, men det meste er næsten korrekt - det er kun et spørgsmål om tolkning.
    For det første ved vi, at den nye måde at repræsentere verden på i kvantemekanik - de nye rammer - skal give en amplitude for enhver hændelse, der kan ske, og at hvis hændelsen involverer modtagelsen af en partikel, så kan vi give amplituden for at finde den ene partikel på forskellige steder og til forskellige tider. Sandsynligheden for at finde partiklen er så proportional med det absolutte kvadrat på amplituden. Alment varierer amplituden for at finde en partikel forskellige steder til forskellige tider med position og tid.
    I et eller andet særligt tilfælde kan det være, at amplituden varierer som en sinusbølge i rum og tid som e ^{i(t-k . r)}, hvor r er vektor positionen fra en eller anden oprindelse. (Glem ikke at disse amplituder er komplekse tal, ikke reale tal). En sådan amplitude varierer ifølge en bestemt frekvens og bølgetallet k. Så viser det sig, at dette svarer til en klassisk grænsesituation, hvor vi ville have troet, at vi havde en partikel, hvis energi E var kendt og relateret til frekvensen ved

og hvis bevægelsesmængde p også kendes og er relateret til bølgetallet ved

(Symbolet repræsenterer tallet h divideret med 2 ; = h / 2.)
    Dette betyder, at ideen om en partikel er begrænset. Ideen om en partikel - dens placering, dens bevægelsesmængde, etc. - som vi bruger så meget, er i en vis forstand utilfredsstillende. Hvis f.eks. amplituden for at finde en partikel på forskellige steder er givet af e ^{i(t - k . r)}, hvis absolutte kvadrat er en konstant, ville det betyde, at sandsynligheden for at finde partiklen er den samme i alle punkter. Det betyder, at vi ikke ved hvor den er - den kan være hvor som helst - der er stor usikkerhed om dens placering.

Hvis, på den anden side, en partikels position er mere eller mindre godt kendt og vi kan forudsige den nogenlunde nøjagtigt, så må sandsynligheden for at finde den forskellige steder være begrænset til et bestemt område, hvis længde vi kalder x. Uden for dette område er sandsynligheden nul. Nu er denne sandsynlighed det absolutte kvadrat af en amplitude og hvis det absolutte kvadrat er nul, så er amplituden også nul, så vi har et bølgetog hvis længde er x (Fig. 2-1) og bølgelængden (afstanden mellem skæringspunkterne i toget) af det tog er det, der svarer til partiklens bevægelsesmængde.
    Her møder vi en mærkelig ting ved bølger: en meget enkel ting, som strengt taget ikke har noget at gøre med kvantemekanik. Det er noget, som enhver, der arbejder med bølger, selv om han ikke ved noget om kvantemekanik, ved: nemlig, at vi ikke kan definere en unik bølgelængde for et kort bølgetog. Et sådant bølgetog har ikke en bestemt bølgelængde; der er en ubestemthed i bølgetallet, som er relateret til togets endelige længde og derfor er der en ubestemthed i bevægelsesmængden.

Måling af position og bevægelsesmængde

Lad os overveje to eksempler på denne ide - for at se grunden til, at der er en usikkerhed i positionen og/eller bevægelsesmængden, om kvantemekanikken har ret. Vi har også før set, at hvis der ikke fandtes noget sådant - ville vi have et paradoks; det er heldigt, at vi ikke har et sådant paradoks og kendsgerningen, at en sådan ubestemthed naturligt kommer fra bølgebilledet, viser, at alting er gensidigt konsistent.

Her er et eksempel, som viser forholdet mellem position og bevægelsesmængden under omstændigheder, som er meget nemme at forstå. Antag, at vi har en enkelt spalte og at partikler kommer langvejs fra med en vis energi - således at de alle kommer essentielt vandret (Fig. 2-2). Vi vil koncentrere os om bevægelsesmængdens lodrette komponenter. Alle disse partikler har en vis vandret bevægelsesmængde, lad os sige p₀, i klassisk forstand. Så i den klassiske forstand, er den lodrette bevægelsesmængde p_y, før partiklen går igennem hullet, bestemt kendt. Partiklen bevæger sig enten op eller ned, fordi den kommer fra en kilde, som er langt væk - og derfor er den lodrette bevægelsesmængde selvfølgelig nul. Men lad os nu antage, at den går igennem et hul hvis bredde er B. Så kender vi, efter den er kommet ud af hullet, den lodrette position - y-positionen - med betragtelig nøjagtighed - nemlig +-B.+ Dvs. at ubestemtheden i position, y, er i størrelsesordenen B. Nu ville vi måske også ønske at sige, at da vi ved, at bevægelsesmængden er fuldstændig vandret, så er p_y nul; men det er forkert. Vi vidste engang, at bevægelsesmængden var vandret, men vi ved det ikke mere. Før partiklerne passerede gennem hullet, kendte vi ikke deres lodrette positioner. Nu da vi har fundet deres lodrette position ved at lade partiklerne komme gennem hullet, har vi tabt information om den lodrette bevægelsesmængde! Hvorfor? Ifølge bølgeteorien, er der en udspredning, eller diffraktion, af bølgerne efter de går gennem spalten, ligesom for lys. Derfor er der en vis sandsynlighed for, at partiklerne, der kommer ud af spalterne, ikke kommer helt lige. Mønsteret udspredes af diffraktionsvirkningen og spredningsvinklen, som vi kan definere som vinklen for det første minimum, er et mål for den afsluttende vinkels ubestemthed.
    Hvordan bliver mønstret spredt? At sige at det er spredt betyder, at der en nogen chance for, at partiklen bevæger sig op eller ned, dvs. at have en bevægelsesmængde op eller ned. Vi siger chance og partikel, fordi vi kan detektere dette diffraktionsmønster med en partikeltæller og når tælleren modtager partiklen, lad os sige ved C i Fig. 2-2, så modtager den hele partiklen, således at partiklen, i klassisk forstand, har en lodret bevægelsesmængde for at komme fra spalten op til C.
    For at få en grov ide om bevægelsesmængdens spredning, har den lodrette bevægelsesmængde p_y en spredning, som svarer til p₀ , hvor p₀ er den vandrette bevægelsesmængde. Og hvor stor er i det udspredte mønster? Vi ved, at det første minimum sker ved en vinkel sådan, at bølgerne fra en kant af spalten skal rejse en bølgelængde længere end bølgerne fra den anden side - vi udarbejdede det før. (Kapitel 30 i Bind 1). Derfor er / B og så er p_y i dette eksperiment p₀ / B. Bemærk, at hvis vi gør B mindre og udfører en mere nøjagtig måling af partiklens position, bliver diffraktionsmønstret bredere. Så jo smallere vi gør spalten, jo bredere bliver mønstret og jo større er sandsynligheden for at vi burde finde, at partiklen har sideværts bevægelsesmængde. Således er ubestemtheden i den lodrette bevægelsesmængde omvendt proportional med ubestemtheden i y. Vi ser faktisk, at produktet af de to er lig med p₀ . Men er bølgelængden og p₀ er bevægelsesmængden og i henhold til kvantemekanikken er bølgelængden gange bevægelsesmængden Plancks konstant h. Så vi opnår den regel, at ubestemthederne i den lodrette bevægelsesmængde og i den lodrette position har et produkt i størrelsen h:

Vi kan ikke forberede et system i hvilket, vi kender en partikels lodrette position og kan forudsige, hvordan den vil bevæge sig lodret med større bestemthed end givet af (2.3). Dvs., at ubestemtheden i den lodrette bevægelsesmængde skal overstige h / y, hvor y er ubestemtheden i vor viden om positionen.
    Sommetider siger folk, at kvantemekanikken er helt forkert. Da partiklen ankom fra venstre, var dens lodrette bevægelsesmængde nul. Og nu, da den er gået gennem spalten, er dens position kendt. Både position og bevægelsesmængde forekommer at være kendt med vilkårlig nøjagtighed. Det er helt sandt, at vi kan modtage en partikel og ved modtagelsen bestemme hvad dens position er og hvad dens bevægelsesmængde skulle have været for, at den kunne komme her. Det er sandt, men det er ikke det ubestemthedsrelationen (2.3) refererer til. Ligning (2.3) refererer til forudsigeligheden af en situation, ikke bemærkninger om fortiden. Det hjælper ikke at sige "Jeg vidste hvad bevægelsesmængden var før, den gik gennem spalten og nu kender jeg positionen," fordi, nu er kendskabet til bevægelsesmængden tabt. Den kendsgerning, at den gik gennem spalten tillader os ikke længere at forudsige den lodrette bevægelsesmængde. Vi taler om en teori til forudsigelse, ikke blot måling efter kendsgerningen. Så vi skal tale om det, vi kan forudsige.

    Lad os nu gennemgå det den modsatte vej. Lad os tage et andet eksempel på det samme fænomen, lidt mere kvantitativt. I det foregående eksempel målte vi bevægelsesmængde ved en klassisk metode. Vi overvejede nemlig retningen, hastigheden og vinklerne, etc. så vi fik bevægelsesmængden ved klassisk analyse. Men da bevægelsesmængden er relateret til bølgetallet, findes der i naturen endnu en anden måde til måling af en partikels bevægelsesmængde - foton eller andet - som ikke har nogen klassisk analog, fordi den bruger Lign. (2.2). Vi måler bølgernes bølgelængde. Lad os prøve at måle bevægelsesmængde på denne måde.
    Antag, at vi har et gitter med et stort antal linier (Fig. 2-3) og sender en stråle af partikler mod gitteret. Vi har ofte diskuteret dette problem: hvis partiklerne har en bestemt bevægelsesmængde, så får vi et meget skarpt mønster i en vis retning, på grund af interferensen. Og vi har også talt om hvor nøjagtigt, vi kan bestemme den bevægelsesmængde, dvs. hvad opløsningsstyrken af et sådant gitter er. I stedet for at udlede det igen henviser vi til Kapitel 30 i Bind 1, hvor vi fandt at den relative ubestemthed i bølgelængden, som kan måles med et givet gitter er 1 / Nm, hvor N er antallet af linier på gitteret og m er ordenen af diffraktionsmønsteret. Dvs.,

Nu kan formel (2.4) skrives om som

hvor L er afstanden vist i Fig. 2-3. Afstanden er forskellen mellem den totale afstand, som partiklen eller bølgen eller hvad det nu er skal rejse, hvis den reflekteres fra bunden af gitteret og den afstand, den skal rejse, hvis den reflekteres fra toppen af gitteret. Dvs. de bølger, som danner diffraktionsmønstret, er bølger, som kommer fra forskellige dele af gitteret. De første, som ankommer, kommer fra bunden af gitteret, fra begyndelsen af bølgetoget, og resten af dem kommer fra senere dele af bølgetoget, kommende fra forskellige dele af gitteret, indtil den sidste endelig ankommer, og den involverer et punkt i bølgetoget, som er en afstand L bag det første punkt. Så for at vi får en skarp linie i vort spektrum, svarende til en bestemt bevægelsesmængde, med en ubestemthed givet af (2.4), må vi have et bølgetog, som mindst har længden L. Hvis bølgetoget er for kort, bruger vi ikke hele gitteret. Bølgerne, der danner spektrummet, reflekteres kun fra en meget kort sektor af gitteret, hvis bølgetoget er for kort og gitteret vil ikke virke rigtigt - vi vil finde en stor vinkelspredning. For at få en snævrere er vi nødt til at bruge hele gitteret, så, i det mindste i et øjeblik, hele bølgetoget spredes samtidigt fra alle dele af gitteret. Derfor skal bølgetoget være af længden L for at have en ubestemthed i bølgelængden mindre end den, der er givet ved (2.5).
    Forresten,

Derfor

hvor L er længden af bølgetoget.
    Dette betyder, at hvis vi har et bølgetog, hvis længde er mindre end L, så skal ubestemtheden i bølgetallet overstige 2 / L. Eller at ubestemtheden i et bølgetal gange længden af bølgetoget - vi vil et øjeblik kalde den x - overstiger 2. Vi kalder den x fordi, det er ubestemtheden i partiklen placering. Hvis bølgetoget kun eksisterer i en endelig længde, så er det dér, vi ville finde partiklen, inden for ubestemtheden x. Nuvel, denne egenskab ved bølger, at længden af bølgetoget gange ubestemtheden af bølgetallet, associeret med den, er mindst 2, er en egenskab, som er kendt for alle der studerer dem. Det har intet at gøre med kvantemekanik. Det er simpelthen, at hvis vi har et endeligt tog, så kan vi ikke tælle bølgerne i det meget præcist.
    Lad os prøve at se grunden til det på en anden måde. Antag at vi har et endeligt tog af længde L; på grund af den måde, hvorpå det må formindskes ved slutningerne, som i Fig. 2-1, er antallet af bølger i længden L ubestemt cirka i størrelsen +-1. Men antallet af bølger i L er kL / 2. Således er k ubestemt og vi får igen resultatet (2.7), en egenskab, som bølger bare har. Det samme virker, hvad enten bølgerne er i rummet og k er antallet af radianer pr. centimeter og L er længden af toget, eller bølgerne er i tiden og er antallet af svingninger pr. sekund og T er "længden" i tid, som bølgetoget optræder i. Dvs. hvis vi har et bølgetog, der kun varer en bestemt endelig tid T, så er ubestemtheden i frekvensen givet af

Vi har prøvet at understrege, at dette er egenskaber udelukkende ved bølger og de er velkendte f.eks. i teorien om lyd.
    Pointen er, at i kvantemekanikken tolker vi bølgetallet som værende et mål for en partikels bevægelsesmængde med reglen, at p = k, således at relationen (2.7) fortæller os at p ~ h / x. Dette er så en begrænsning af den klassiske ide om bevægelsesmængde. (Naturligvis skal den begrænses på en eller anden måde, hvis vi vil repræsentere partikler med bølger!) Det er fint, at vi har fundet en regel, som giver os en ide om, hvor de klassiske ideer fejler.

Krystal diffraktion

Lad os som det næste overveje refleksionen af partikelbølger fra en krystal. En krystal er en tyk tingest, som har en hel masse ens atomer - vi vil inkludere nogle komplikationer senere - i en pæn stabel. Spørgsmålet er, hvordan man skal placere stabelen, så vi får et stærkt reflekteret maximum i en given retning for en given stråle af f.eks. lys (røntgenstråler), elektroner, neutroner eller noget andet. For at opnå en stærk refleksion må spredningen fra alle atomerne være i fase. Der kan ikke være ens antal i fase og ude af fase, så vil bølgerne udlignes. Måden at arrangere tingene på er at finde områder med konstant fase, som vi allerede har forklaret; det er planer, som laver ens vinkler med start- og afslutningsretningerne (Fig. 2-4).
    Hvis vi betragter to parallelle planer, som i Fig. 2-4, så vil de spredte bølger fra de to planer være i fase forudsat, at forskellen i afstand gennemrejst af en bølgefront er et heltalligt antal bølgelængder. Denne forskel kan ses at være 2d sin , hvor d er den lodrette afstand mellem planerne. Således er betingelsen for kohærent refleksion

Hvis f.eks. krystallen er sådan, at atomerne tilfældigvis ligger på planer, der overholder betingelse (2.9) med n = 1, så vil der være en stærk refleksion. Hvis der, på den anden side, er andre atomer af samme natur (ens i tæthed) halvvejs imellem, så vil de mellemliggende planer også sprede lige så stærkt og vil interferere med de andre og frembringe nul virkning. Så d i (2.9) skal referere til nærliggende planer; vi kan ikke tage et plan fem lag længere bagude og bruge denne formel!

    Af ren interesse, er virkelige krystaller normalt ikke så simple som en enkelt slags atom gentaget på en bestemt måde. Hvis vi i stedet tager en enkel todimensional analog, ligner de tapet meget, et tapet i hvilket, der er en slags figur, som gentages overalt på tapetet. Med "figur" mener vi, i tilfældet med atomerne, et eller andet arrangement - kalcium, og et carbon og tre oxygen, osv. for kalciumkarbonat, og så videre - som kan involvere et relativt stort antal atomer. Men hvad det end er, så gentages figuren i et mønster. Denne grundlæggende figur kaldes en enhedscelle.
    Gentagelsens grundlæggende mønster definerer det, vi kalder gittertypen; gittertypen kan bestemmes øjeblikkeligt ved at se på refleksionerne og se hvad deres symmetri er. Med andre ord, hvor vi overhovedet finder nogen refleksioner, bestemmer gittertypen, men for at bestemme hvad der er i hver af gitterets elementer, må vi tage hensyn til spredningens intensitet i de forskellige retninger. Hvilke retninger der spreder, afhænger af gittertypen, men hvor stærkt hver spreder bestemmes af, hvad der er inde i hver enhedscelle og på den måde udregnes krystallers struktur.
Der sker forresten en interessant ting, hvis mellemrummene mellem de nærmeste planer er mindre end / 2. I dette tilfælde har (2.9) ingen løsning for n. Hvis således er større end to gange afstanden mellem biliggende planer, så er der intet sidediffraktions mønster og lyset - eller hvad det nu er - vil gå lige gennem materialet uden at blive reflekteret eller gå tabt. Så i tilfælde med lys, hvor er meget større end mellemrummet, går det naturligvis igennem og der er intet refleksionsmønster fra krystallens planer.
    Denne kendsgerning har også en interessant konsekvens i tilfælde af stakke som laver neutroner (det er indlysende for enhver, at de er partikler!). Hvis vi tager disse neutroner og slipper dem ind i en lang grafitblok, spredes neutronerne og arbejder sig frem (Fig. 2-7). De udbreder sig, fordi de reflekteres af atomerne, men i bølgeteorien reflekteres de strengt taget af atomerne på grund af diffraktion fra krystalplanerne. Det viser sig, at hvis vi tager et meget langt stykke grafit, er alle neutronerne, der kommer ud i den anden ende, af lang bølgelængde! Hvis man plotter intensiteten som funktion af bølgelængden, får vi faktisk intet for bølgelængder lavere end et vist minimum (Fig. 2-8). Med andre ord kan vi få meget langsomme neutroner på den måde. Kun de langsommeste neutroner kommer igennem; de diffrakteres eller spredes ikke af grafittens krystalplaner, men fortsætter ret igennem som lys gennem glas og spredes ikke til siderne. Der er mange andre demonstrationer af neutronbølger og andre partiklers bølger.

Et atoms størrelse

Vi overvejer nu en anden anvendelse af ubestemthedsrelationen, Lign. (2.3). Det skal ikke tages for alvorligt; ideen er rigtig, men analysen er ikke særlig nøjagtig. Ideen har at gøre med bestemmelsen af atomers størrelse og den kendsgerning, at klassisk ville elektronerne udstråle lys og flyve i en spiral, indtil de falder til hvile ovenpå kernen. Men kvantemekanisk kan det ikke være rigtigt, fordi vi så ville vide, hvor hver elektron var og hvor hurtigt den bevægede sig.
    Antag, at vi har et brintatom og måler positionen af elektronen; vi må ikke kunne forudsige nøjagtigt, hvor elektronen vil være for ellers vil spredningen i bevægelsesmængden vise sig at være uendelig. Hver gang vi kigger på elektronen, er den et eller andet sted, men den har en amplitude for at være på forskellige steder, så der er en sandsynlighed for at den kan findes forskellige steder. Disse steder kan ikke alle være ved kernen; vi vil antage, at der er en spredning i position af størrelsen a. Dvs., at elektronens afstand fra kernen sædvanligt er omkring a. Vi vil bestemme a ved at minimere atomets totale energi.
    Spredningen i bevægelsesmængde er groft sat h / a på grund af ubestemthedsrelationen således, at hvis vi prøver at måle elektronens bevægelsesmængde på en eller anden måde, som ved spredning af røntgenstråler fra den, og ser efter Doppler virkningen fra et bevægeligt mål, ville vi forvente ikke at få nul hver gang - elektronen står ikke stille - men bevægelsesmængden skal være i størrelsesordenen p h / a. Så er den kinetiske energi groft sat 1/2 mv² = p² / 2m = h² / 2ma². (I en forstand er dette en slags dimensional analyse til at finde ud af på hvilken måde, den kinetiske energi afhænger af Plancks konstant, af m og af atomets størrelse. Vi behøver ikke stole på vort svar indenfor faktorer som 2, , etc. Vi har ikke engang defineret a særlig præcist). Nu er den potentielle energi minus e² over afstanden fra centrum, dvs. -e² / a, hvor, som defineret i Bind 1, e² er kvadratet på elektronens ladning, divideret med 4₀. Nu er pointen, at den potentielle energi reduceres, hvis a bliver mindre, men jo mindre a er, jo højere er den krævede bevægelsesmængde, på grund af ubestemthedsprincippet og derfor jo højere er den kinetiske energi. Den totale energi er

Vi ved ikke hvad a er, men vi ved at atomet vil arrangere sig for at lave en slags kompromis, så energien er så lille som muligt. For at minimere E, differentierer vi med hensyn til a, sætter den afledede lig med nul og løser for a. Den afledede af E er

og ved at sætte dE / da = 0 giver det for a værdien

Denne særlige afstand kaldes Bohr radius og vi har således fundet ud af, at atomare dimensioner er i størrelsesordenen ångström, hvilket er rigtigt. Dette er helt godt - faktisk er det forbavsende, da vi indtil nu ikke har haft noget grundlag for at forstå atomers størrelse! Atomer er fra det klassiske synspunkt helt umulige, da elektronerne ville flyve i en spiral ind i kernen.
    Hvis vi nu indsætter værdien (2.12) for a₀ i (2.10) for at finde energien, får vi

Hvad betyder en negativ energi? Den betyder, at elektronen har mindre energi, når den er i atomet, end når den er fri. Det betyder, at den er bundet. Det betyder, at det kræver energi at sparke elektronen ud; det kræver energi i størrelsesordenen 13,6 elektronvolt at ionisere et brintatom. Vi har ingen grund til at tro, at det er to eller tre gange dette - eller det halve - eller (1/) gange dette, fordi vi har brugt så slapt et argument. Vi har imidlertid snydt, for vi har brugt alle konstanterne på en sådan måde, at det tilfældigvis bliver det rigtige tal! Dette tal, 13,6 elektronvolt, kaldes en Rydberg energi; det er brints ioniseringsenergi.
    Så nu forstår vi, hvorfor vi ikke falder gennem gulvet. Når vi går, skubber vore sko, med deres masser af atomer, mod gulvet med dets masser af atomer. For at presse atomerne nærmere hinanden, ville elektronerne blive begrænset til mindre plads og på grund af ubestemthedsprincippet ville deres bevægelsesmængde i gennemsnit skulle være højere og det betyder høj energi; modstanden mod atomar sammentrykning er en kvantemekanisk virkning og ikke en klassisk virkning. Klassisk ville vi forvente, at hvis vi trak alle elektroner og protoner nærmere sammen, så ville energien blive yderligere reduceret og det bedste arrangement af positive og negative ladninger i klassisk fysik er ovenpå hinanden. Dette var velkendt i klassisk fysik og var en gåde på grund af atomets eksistens. Naturligvis opfandt de tidlige forskere nogle måder at undgå problemerne på - men det er ligemeget, vi har den rette løsning, nu!
    Forresten, selv om vi ikke har nogen baggrund for at forstå det endnu, prøver elektronerne, i en situation hvor de er mange, at holde sig væk fra hinanden. Hvis en elektron optager en bestemt plads, så prøver en anden ikke at optage den samme plads. Mere præcist er der to spin tilfælde, således at to elektroner kan sidde ovenpå hinanden, den ene spinner den ene vej og den anden den anden vej. Men derefter er der ikke plads til flere. Vi må anbringe andre elektroner andre steder og det er den virkelige grund til, at stof har styrke. Hvis vi kunne anbringe alle elektronerne samme sted, ville det fortættes endnu mere end det gør. Det er det faktum, at elektronerne ikke alle kan komme sammen samme sted, der gør borde og alt andet fast.
    Det er indlysende, at for at forstå stoffets natur er vi nødt til at bruge kvantemekanik og ikke være tilfredse med klassisk mekanik.

Energi niveauer

Vi har talt om atomet i dets lavest mulige energitilstand, men det viser sig, at elektronen kan gøre andre ting. Den kan ryste let og sno sig på en mere energisk måde og derfor er der mange forskellige mulige bevægelser for atomet. I en stationær tilstand kan der, ifølge kvantemekanikken, kun være bestemte energier for et atom. Vi laver et diagram (Fig. 2-9) i hvilket, vi plotter energien lodret og laver en vandret linie for hver tilladt værdi af energien. Når elektronen er fri, dvs. når dens energi er positiv, kan den have enhver energi; den kan bevæge sig med enhver hastighed. Men bundne energier er ikke vilkårlige. Atomet skal have en eller anden ud af et sæt af tilladte værdier, som dem i Fig. 2-9.
    Lad os nu kalde energiens tilladte værdier E₀, E₁, E₂, E₃. Hvis et atom i begyndelsen er i en af disse "anslåede tilstande" E₁, E₂ etc., forbliver det ikke i den tilstand for evigt. Før eller senere falder det til en lavere tilstand og udstråler energi i form af lys. Frekvensen af lyset, der udsendes, bestemmes af bevarelsen af energi plus den kvantemekaniske forståelse, at lysets frekvens er relateret til lysets energi gennem (2.1). Derfor er frekvensen af det lys, der frigives i en overgang fra energi E₃ til energi E₁ (for eksempel)

Dette er så en karakteristisk frekvens for atomet og definerer en spektral strålingslinie. En anden mulig overgang ville være fra E₃ til E₀. Den ville have en anden frekvens

En anden mulighed er, at hvis atomet blev anslået til tilstanden E₁, kunne det falde til grundtilstanden E₀ og udstråle en foton med frekvensen

Vi fremlægger tre overgange for at pege på et interessant forhold. Det er let at se fra (2.14), (2.15) og (2.16) at

Alment gælder det, at hvis vi finder to spektrallinier, skal vi forvente at finde en anden linie ved summen af frekvenserne (eller forskellen i frekvenserne) og at alle linierne kan forstås ved at finde en serie niveauer sådan, at hver linie svarer til forskellen i energi af et par niveauer. Dette bemærkelsesværdige sammentræf i spektral frekvenser blev bemærket, før kvantemekanikken blev opdaget og det kaldes Ritz kombinationsprincip. Dette er igen et mysterium fra den klassiske mekaniks synspunkt. Lad os ikke slå løs på pointen om, at klassisk mekanik fejler i det atomare domæne; det forekommer, at vi allerede har demonstreret det helt godt.
    Vi har allerede talt om, at kvantemekanikken repræsenteres af amplituder, der opfører sig som bølger, med visse frekvenser og bølgetal. Lad os ud fra amplitude-synspunktet se på, hvordan det går til, at atomet har bestemte energitilstande. Det er noget vi ikke kan forstå ud fra, hvad der er blevet sagt indtil nu, men vi kender alle den kendsgerning, at indelukkede bølger har bestemte frekvenser. Hvis lyd f.eks. er begrænset af en orgelpibe, eller noget lignende, så kan lyden vibrere på mere end en måde, men for hver sådan måde, er der en bestemt frekvens. Således har en genstand i hvilken bølgerne er lukket inde bestemte ressonansfrekvenser. Det er derfor en egenskab ved bølger i et begrænset rum - et emne, som vi vil diskutere i detaljer med formler senere - at de kun eksisterer ved bestemte frekvenser. Og da den almene relation mellem amplitudens frekvenser og energien findes, er vi ikke forbavsede over at finde bestemte energier associeret med elektroner bundet i atomer.

Filosofiske betydninger

Lad os kort overveje nogle af kvantemekanikkens filosofiske betydninger. Som altid er der to sider af spørgsmålet: den ene er de filosofiske betydninger for fysikken og den anden er udstrækningen af filosofiske spørgsmål til andre felter. Når filosofiske spørgsmål, som er forbundet med videnskab, trækkes ind i et andet felt, bliver de sædvanligvis fuldstændig forvrænget. Derfor vil vi begrænse vore bemærkninger mest muligt til fysikken selv.
    For det første er det mest interessante synspunkt ideen om ubestemthedsprincippet; udførelse af en observation påvirker fænomenet. Det har altid været kendt, at udførelse af observationer påvirker et fænomen, men pointen er, at virkningen ikke kan ignoreres, minimeres eller formindskes vilkårligt ved at omarrangere apparaturet. Når vi ser efter et bestemt fænomen, kan vi ikke undgå at forstyrre det på en vis minimal måde og forstyrrelsen er nødvendig for synspunktets konsistens. Observatøren var sommetider vigtig i prækvantefysik, men kun i triviel forstand. Man har rejst spørgsmålet: hvis et træ falder i en skov og der ikke er nogen til stede til at høre det, laver det så en støj? Et virkeligt træ der falder i en virkelig skov laver en lyd, selvfølgelig, selv om der ingen er. Selv om der ikke er nogen til stede til at høre det, efterlades der andre spor. Lyden vil ryste nogle blade og hvis vi var omhyggelige nok kunne vi måske finde et sted, hvor en torn havde gnedet mod et blad og lavet en lille rids, som ikke kunne forklares medmindre vi antog, at bladet vibrerede. Så i en vis forstand ville vi være nødt til at indrømme, at der laves en lyd. Vi kunne spørge: Var der en sansning af lyd? Nej, sansninger har at gøre, antageligt, med bevidsthed. Og om myrer er bevidste og om der var myrer i skoven, eller om træet var bevidst, ved vi ikke. Lad os efterlade spørgsmålet i den form.
    En anden ting, som folk har understreget siden kvantemekanikken blev udviklet, er ideen om, at vi ikke burde tale om de ting, vi ikke kan måle. (Faktisk sagde relativitetsteorien også dette). Medmindre en ting kan defineres ved måling, har den ingen plads i en teori. Og da en nøjagtig værdi af en lokaliseret partikels bevægelsesmængde ikke kan defineres ved måling, har den derfor ingen plads i teorien. Ideen om, at det var dette, der var galt med klassisk teori, er en forkert indstilling. Det er en hensynsløs analyse af situationen. Blot fordi vi ikke kan måle position og bevægelsesmængde præcist betyder det ikke, a priori, at vi ikke kan tale om dem. Det betyder kun, at vi ikke behøver tale om dem. Situationen i videnskaberne er denne: Et begreb eller en ide, som ikke kan måles eller som ikke kan refereres direkte til eksperiment, er måske eller er måske ikke nyttig. Den behøver ikke at findes i en teori. Med andre ord, antag, at vi sammenligner den klassiske teori om verden med kvanteteorien om verden og antag, at det er sandt, eksperimentelt, at vi kun kan måle position og bevægelsesmængde upræcist. Spørgsmålet er, hvorvidt ideerne, om den eksakte position for en partikel og den eksakte bevægelsesmængde for en partikel, er gældende eller ikke. Den klassiske teori tillader ideerne; kvanteteorien gør ikke. Dette betyder ikke i sig selv, at klassisk fysik er forkert. Da den nye kvantemekanik blev opdaget, sagde de klassiske folk - som inkluderede alle undtaget Heisenberg, Schrödinger og Born -: "Se, jeres teori duer ikke, fordi i ikke kan besvare visse spørgsmål som: hvad er en partikels eksakte position?, hvilket hul går den igennem? og nogle andre." Heisenbergs svar var: "Jeg behøver ikke besvare sådanne spørgsmål, fordi man ikke kan stille et sådant spørgsmål eksperimentelt." Det er dét, at vi ikke behøver. Overvej to teorier (a) og (b); (a) indeholder en ide, som ikke kan kontrolleres direkte, men som bruges i analysen, og den anden (b) indeholder ikke ideen. Hvis de er uenige i deres forudsigelser kunne man ikke hævde, at (b) er forkert, fordi den ikke kan forklare denne ide, som er i (a), fordi den ide er en af de ting, der ikke kan kontrolleres direkte. Det er altid godt at vide, hvilke ideer, der ikke kan kontrolleres direkte, men det er ikke nødvendigt at fjerne dem alle. Det er ikke sandt, at vi kun kan dyrke videnskab, ved kun at bruge de begreber, som direkte kan udsættes for eksperimenter.
    I selve kvantemekanikken er der en sandsynlighedsamplitude, der er et potentiale og der er mange udlægninger, som vi ikke direkte kan måle. En videnskabs grundlag er dens evne til forudsigelse. At forudsige betyder at sige, hvad der vil ske i et eksperiment, som aldrig før er blevet udført. Hvordan kan vi gøre det? Ved at antage, at vi ved hvad der er, uafhængigt af eksperimentet. Vi må udstrække eksperimenterne til et område, hvor de aldrig er blevet udført. Vi må tage vore begreber og udvide dem til steder, hvor de endnu ikke er blevet kontrolleret. Hvis vi ikke gør det, har vi ingen forudsigelse. Så det var fuldstændig fornuftigt af den klassiske fysiker at fortsætte, tilfreds med at antage at position - som indlysende betyder noget for en baseball - også betød noget for en elektron. Det var ikke dumhed. Det var en fornuftig fremgangsmåde. I vore dage siger vi, at loven om relativitet antages at være sand ved alle energier, men en dag kan der komme nogen og sige, hvor dumme vi var. Vi ved ikke, hvor vi er "dumme" før, vi "stikker næsen frem" og derfor er hele ideen at stikke næsen frem. Og den eneste måde at finde ud af at vi tager fejl er, at finde ud af hvad vore forudsigelser er. Det er absolut nødvendigt at foretage udlægninger.
    Vi har allerede gjort nogle få bemærkninger om kvantemekanikkens ubestemthed. Dvs. at vi er ude af stand til at forudsige, hvad der vil ske i fysikken under givne fysiske omstændigheder, som er arrangeret så omhyggeligt som muligt. Hvis vi har et atom, som er i en anslået tilstand og derfor vil udsende en foton, kan vi ikke sige hvornår, det vil udsende fotonen. Det har en vis amplitude til udsendelse af fotonen på hvert tidspunkt og vi kan kun forudsige en sandsynlighed for udsendelse; vi kan ikke forudsige fremtiden eksakt. Dette har givet anledning til alle former for nonsens og spørgsmål om betydningen af fri vilje og ideen om, at verden er ubestemt.
    Vi skal selvfølgelig også understrege, at klassisk fysik også er ubestemt, i en vis forstand. Man mener normalt, at denne ubestemthed, at vi ikke kan forudsige fremtiden, er en vigtig kvantemekanisk ting og den siges at forklare sindets adfærd, følelser af fri vilje, etc. Men hvis verden var klassisk - hvis mekanikkens love var klassiske - er det ikke helt indlysende, at sindet ikke, mere eller mindre, ville føle det samme. Klassisk er det sandt, at hvis vi kendte positionen og hastigheden for enhver partikel i verden, eller i en kasse med gas, kunne vi forudsige eksakt, hvad der ville ske. Og derfor er den klassiske verden deterministisk. Antag imidlertid, at vi har en endelig nøjagtighed og ikke ved eksakt, hvor blot et atom er, lad os sige til en del ud af en milliard. Når det så bevæger sig afsted rammer det et andet atom og fordi vi ikke kendte positionen bedre end en del af en milliard, finder vi en endnu større fejl i positionen efter kollisionen. Og den forstærkes, selvfølgelig, i den næste kollision, således, at hvis vi starter med kun en lille fejl, så forstørres den hurtigt til en meget stor usikkerhed. For at give et eksempel: hvis vand falder over en dæmning, sprøjter det. Hvis vi står tæt på, vil en dråbe nu og da lande på vor næse. Dette forekommer at være fuldstændigt tilfældigt, alligevel ville en sådan adfærd blive forudsagt af rent klassiske love. Den eksakte position for alle dråberne afhænger af de præcise snoninger af vandet før det falder over dæmningen. Hvordan? De mindste uregelmæssigheder forstørres ved faldet, så vi får fuldstændig tilfældighed. Det er indlysende, at vi virkelig ikke kan forudsige dråbernes position med mindre, vi kender vandets bevægelse absolut eksakt.
    Mere præcist formuleret, givet en vilkårlig nøjagtighed, ligegyldigt hvor præcist, kan man finde et tidsrum, der er langt nok til, at vi ikke kan gøre gældende forudsigelser om så lang tid. Nu er pointen, at længden af dette tidsrum ikke er særlig stor. Det er ikke sådan, at tiden er millioner af år, hvis nøjagtigheden er en del af en milliard. Tiden går, faktisk, kun logaritmisk med fejlen og det viser sig, at bare i løbet af en lille, lille smule tid taber vi al vor information. Hvis nøjagtigheden antages at være en del af milliarder og milliarder og milliarder - ligemeget hvor mange milliarder vi ønsker, forudsat, at vi stopper et sted - så kan vi finde et tidsrum, der er mindre end den tid det tog at erklære nøjagtigheden - efter hvilken, vi ikke længere kan forudsige hvad der vil ske! Det er derfor ikke fair at sige, at vi ud fra den tilsyneladende frihed og ubestemthed i den menneskelige hjerne, burde have været klar over, at klassisk "deterministisk" fysik aldrig kunne håbe på at forstå den og at byde velkommen til kvantemekanikken som en frigørelse fra et "fuldstændigt mekanistisk" univers. For allerede i klassisk mekanik var der ubestemthed set ud fra et praktisk synspunkt.

Oversat fra The Relation of Wave and Particle Viewpoints, "Lectures on Physics, Vol. III", California Institute of Technology, Addison-Wesley, 1965.

5. december, 2000.

Indhold
Kvanteadfærd :Én sti: Sandsynlighedsamplituder
Index