Kvantemekanik

Encyclopædia Britannica 2009 artikel

Indledning

Videnskab, der beskæftiger sig med stoffets og lysets adfærd på atomar og subatomar skala. Den forsøger at beskrive og redegøre for egenskaberne ved molekyler og atomer og deres bestanddele – elektroner, protoner, neutroner, og andre mere esoteriske partikler som kvarker og gluoner. Disse egenskaber inkluderer partiklernes vekselvirkninger med hinanden og med elektromagnetisk stråling (dvs., lys, røntgenstråling og gammastråling).

Stofs og strålings opførsel på den atomare skala forekommer ofte ejendommelig og konsekvenserne af kvanteteori er tilsvarende vanskelige at forstå og tro. Dens begreber er ofte i konflikt med almindelig sund fornuft, som er afledt af observationer af dagligdagens verden. Der er imidlertid ingen grund til, at den atomare verdens adfærd skulle være i overensstemmelse med den velkendte, storskala verdens adfærd. Det er vigtigt at forstå, at kvantemekanik er en gren af fysik og at fysikken beskæftiger sig med at beskrive og redegøre for den måde verden – på både den store og den lille skala – virkelig er og ikke hvordan man forestiller sig den eller ønsker den var.

Studiet af kvantemekanik er lønnende af adskillige grunde. For det første illustrerer den fysikkens væsentlige metode. For det andet har den haft enorm succes med at give korrekte resultater i praktisk talt enhver situation, den har været anvendt på. Der er imidlertid et interessant paradoks. Til trods for kvantemekanikkens overvældende praktiske succes indeholder emnet uløste problemer – især problemer vedrørende målingens natur. En væsentlig egenskab ved kvantemekanik er, at det er generelt umuligt, selv i princippet, at måle på et system uden at forstyrre det; denne forstyrrelses detaljerede natur og det nøjagtige punkt, i hvilket den finder sted, er uklart og kontroversielt. Således har kvantemekanikken tiltrukket nogle af de mest kyndige forskere i det 20. århundrede og de har rejst, hvad der måske er det fineste intellektuelle bygningsværk fra den periode.

Kvanteteoriens historiske grundlag

Grundlæggende betragtninger

På et fundamentalt niveau har både stråling og stof egenskaber som partikler og bølger. Forskernes gradvise erkendelse af, at stråling har partikellignende egenskaber og at stof har bølgelignende egenskaber, gav drivkraften til udviklingen af kvantemekanikken. Under indflydelse af Newton troede de fleste fysikere i det 18. århundrede at lyset bestod af partikler, som de kaldte korpuskler. Fra omkring år 1800 begyndte der at samle sig vidnesbyrd for en bølgeteori om lys. På omkring den tid viste Thomas Young, at hvis ensfarvet lys passerer gennem et par spalter, interfererer de to opdukkende stråler, så der dannes et randmønster af skiftevis lyse og mørke bånd på en skærm. Båndene forklares nemt med en bølgeteori for lys. Ifølge teorien frembringes et lyst bånd, når bølgetoppene (og dalene) fra de to spalter ankommer sammen ved skærmen; et mørkt bånd frembringes, når bølgetoppen fra en bølge ankommer samtidig med bølgedalen fra den anden bølge og virkningerne fra de to lysbølger udligner hinanden. Begyndende i 1815 viste en serie eksperimenter af Augustin-Jean Fresnel fra Frankrig og andre, at når en parallel lysstråle passerer gennem en enkelt spalte er den opdukkende stråle ikke længere parallel men begynder at afvige; dette fænomen kaldes diffraktion. Givet lysets bølgelængde og apparaturets geometri (dvs., spalternes adskillelse og bredde og afstanden fra spalterne til skærmen) kan man bruge bølgeteorien til at beregne det forventede mønster i hvert enkelt tilfælde; teorien stemmer præcist med de eksperimentelle data.

Tidlige udviklinger

Planck's strålingslov

Ved slutningen af det 19. århundrede accepterede fysikerne næsten universelt bølgeteorien for lys. Men skønt den klassiske fysiks ideer forklarer interferens og diffraktionsfænomener i forhold til udbredelsen af lys, redegør de ikke for absorpsion og udsendelse af lys. Alle legemer udstråler elektromagnetisk energi som varme, faktisk udsender et legeme stråling ved alle bølgelængder. Energien, der udstråles ved forskellige bølgelængder, har et maksimum ved en bølgelængde, der afhænger af legemets temperatur; jo varmere legemet er, jo kortere er bølgelængden for maksimal stråling. Forsøg på at beregne energifordelingen for strålingen fra et sort legeme ved brug af klassiske ideer lykkedes ikke. (Et sort legeme er et hypotetisk ideelt legeme eller en overflade, der absorberer og genudstråler al strålingsenergi, der falder ind på det.) En formel, der blev foreslået af Wilhelm Wien fra Tyskland, stemte ikke med observationerne ved lange bølgelængder og en anden, foreslået af Lord Rayleigh (John William Strutt) fra England, stemte ikke ved korte bølgelængder.

I år 1900 kom den tyske teoretiske fysiker Max Planck med et dristigt forslag. Han antog, at strålingsenergien udsendes, ikke sammenhængende, men snarere i adskilte pakker kaldet kvanter. Kvantets energi E forholder sig til frekvensen v ved E = hv. Mængden h, som nu kaldes Planck's konstant, er en universel konstant med en tilnærmet værdi på 6,626075 x 10^-34 joule.sekund. Planck viste, at spektrets beregnede energi så stemte overens med observationer over hele området af bølgelængder.

Einstein og den fotoelektriske virkning

I 1905 udstrakte Einstein Plancks hypotese til at forklare den fotoelektriske virkning, som er en metaloverflades udstråling af elektroner, når den bestråles af lys eller mere energirige fotoner. De udstrålede elektroners kinetiske energi afhænger af strålingens frekvens v, ikke af dens intensitet; for et givet metal er der en tærskelfrekvens v_{0 ,} under hvilken der ikke udstråles nogen elektroner. Endvidere finder udstrålingen sted, så snart lyset skinner på overfladen; der er ingen detekterbar forsinkelse. Einstein viste, at disse resultater kan forklares af to antagelser: (1) at lys består af korpuskler eller fotoner, hvis energi gives af Plancks forhold, og (2) at et atom i metallet kan absorbere enten en hel foton eller ingenting. En del af den absorberede fotons energi frigør en elektron, hvilket kræver en fast energi W, kendt som metallets løsrivelsesarbejde; resten omdannes til den udstrålede elektrons kinetiske energi m_e u²/2 (m_e er elektronens masse og u er dens hastighed). Således er energiforholdet

Hvis v er mindre end v₀, hvor hv₀ = W, udstråles ingen elektroner. Ikke alle de ovennævnte resultater var kendt i 1905, men alle Einsteins forudsigelser er siden blevet verificeret.

Bohrs teori for atomet

Et stort bidrag til emnet blev gjort af Niels Bohr fra Danmark, som anvendte kvantehypotesen på atomspektre i 1913. Spektre af lys udsendt af gasatomer var blevet omfattende studeret siden midten af det 19. århundrede. Man fandt, at stråling fra gasatomer under lavt tryk består af et sæt adskilte bølgelængder. Dette er helt ulig strålingen fra et fast stof, som er fordelt over et sammenhængende område af bølgelængder. Sættet af adskilte bølgelængder fra gasatomer kaldes et liniespektrum, fordi den udsendte stråling (lys) består af en serie skarpe linier. Liniernes bølgelængder er kendetegnende for grundstoffet og kan danne yderst komplekse mønstre. De enkleste spektre er fra hydrogen og alkali atomerne (dvs., lithium, natrium, og kalium). For hydrogen gives bølgelængderne l af den empiriske formel

hvor m og n er positive heltal med n > m og R, kendt som Rydberg konstanten, har værdien 1, 097373177 x 10⁷ pr. meter. For en given værdi af m danner linierne for varierende n en serie. Linierne for m = 1, Lyman serien, ligger i den ultraviolette del af spektret; dem for m = 2, Balmer serien, ligger i det synlige spektrum; og dem for m = 3, Paschen serien, ligger i det infrarøde.

Bohr startede med en model, der var foreslået af den britiske fysiker Ernest Rutherford. Modellen var baseret på eksperimenter af Hans Geiger og Ernest Marsden, som i 1909 bombarderede guldatomer med massive, hurtige alfapartikler; da nogle af disse partikler blev afbøjet bagud, konkluderede Rutherford, at atomet har en massiv, ladet kerne. I Rutherfords model minder atomet om et miniature solsystem, hvor kernen virker som Solen og elektronerne som de cirkulerende planeter. Bohr gjorde tre antagelser. For det første postulerede han, at, i modsætning til klassisk mekanik, hvor et uendeligt antal kredsløb er mulige, en elektron kun kan være i et af et sæt adskilte kredsløb, som han benævnte stationære tilstande. For det andet postulerede han, at de eneste tilladte kredsløb er dem, for hvilke elektronens impuls er et helt tal n gange ( = h/2p). For det tredje antog Bohr, at Newton's love for bevægelse, der er så vellykkede i beregninger af planeternes baner omkring Solen, også gjaldt for elektroner, der kredsede om kernen. Kraften på elektronen (analogen til gravitationskraften mellem Solen og en planet) er den elektrostatiske tiltrækning mellem den positivt ladede kerne og den negativt ladede elektron. Med disse enkle antagelser viste han, at kredsløbets energi har formen

Hvor E₀ er en konstant, der kan udtrykkes ved en kombination af de kendte konstanter e, m_e og . Mens det er i den stationære tilstand, afgiver atomet ikke energi som lys; når en elektron imidlertid gør en overgang fra en tilstand med energi E_n til en med lavere energi E_m, udstråles et kvant energi med frekvensen v, givet af ligningen

Ved at indsætte udtrykket for E_n i denne ligning og brug af forholdet lv = c, hvor c er lysets hastighed, udledte Bohr formlen for liniernes bølgelængder i hydrogen spektret, med den korrekte værdi af Rydberg konstanten.

Bohr's teori var et strålende trin fremad. Dens to vigtigste egenskaber har overlevet i nutidens kvantemekanik. De er (1) eksistensen af stationære, ikke-udstrålende tilstande og (2) forholdet mellem strålingsfrekvens og energiforskellen mellem begyndelsestilstanden og sluttilstanden i en overgang. Før Bohr tænkte fysikerne, at strålingsfrekvensen ville være den samme som elektronens rotationsfrekvens i et kredsløb.

Spredning af røntgenstråler

Forskerne stod snart overfor den kendsgerning, at en anden form for stråling, røntgenstråler, også udviser både bølge- og partikelegenskaber. Max von Laue fra Tyskland havde i 1912 vist, at krystaller kan bruges som tredimensionale diffraktionsgitre til røntgenstråler; hans teknik udgjorde de fundamentale vidnesbyrd om røntgenstrålers bølgelignende natur. En krystals atomer, som er arrangeret i et regelmæssigt gitter, spreder røntgenstrålerne. I visse retninger af spredningen, falder alle røntgenbølgernes toppe sammen. (De spredte røntgenstråler siges at være i fase og at give konstruktiv interferens.) For disse retninger er den spredte røntgenstråle meget intens. Det er klart, at dette fænomen demonstrerer bølgeadfærd. Givet afstanden mellem atomerne i krystallen og retningerne af den konstuktive interferens kan man faktisk beregne bølgernes bølgelængde.

I 1922 viste den amerikanske fysiker Arthur Holly Compton, at røntgenstråler spredes fra elektroner som om de er partikler. Compton udførte en serie eksperimenter på spredningen af ensfarvede, højenergi røntgenstråler af grafit. Han fandt, at en del af den spredte stråling havde samme bølgelængde l₀ som de indfaldende røntgenstråler, men at der var en yderligere komponent med en længere bølgelængde l. For at tolke sine resultater betragtede Compton røntgenstrålefotonen som en partikel, der kolliderer og springer fra en elektron i grafitmålet, som om fotonen og elektronen var et par (uens) billiardkugler. Anvendelse af loven om bevarelse af energi og impuls på kollisionen fører til et bestemt forhold mellem mængden af energi overført til elektronen og spredningsvinklen. For røntgenstråler spredt med en vinkel q, forholder bølgelængderne l og l₀ sig ved ligningen

Rigtigheden af Comptons formel er direkte vidnesbyrd om strålingens adfærd som korpuskler.

Broglie's bølgehypotese

Med vidnesbyrd om at elektromagnetisk stråling havde både partikel- og bølgeegenskaber foreslog Louis-Victor de Broglie fra Frankrig en mægtig forenende hypotese i 1924. Broglie foreslog, at stof har bølge, såvel som partikel, egenskaber. Han foreslog at stoflige partikler kan opføre sig som bølger og at deres bølgelængde l forholder sig til partiklens lineære impuls p ved l = h/p.

I 1927 bekræftede Clinton Davisson og Lester Germer fra USA Boglie's hypotese for elektroner. Ved brug af en krystal af nikkel diffrakterede de en stråle af elektroner med ens energi  og viste at bølgernes bølgelængde forholder sig til elektronernes impuls ved Broglie's ligning. Siden Davisson's og Germer's undersøgelse er lignende eksperimenter udført med atomer, molekyler, neutroner, protoner og mange andre partikler. Alle opfører sig som bølger med det samme forhold mellem bølgelængde og impuls.

Grundlæggende begreber og metoder

Bohrs teori, som antog at elektroner bevægede sig i cirkulære baner, blev udstrakt af den tyske fysiker Arnold Sommerfeld og andre til at inkludere elliptiske baner og andre forfinelser. Der blev gjort forsøg på at anvende teorien på mere komplicerede systemer end hydrogenatomet. Imidlertid gjorde den til lejligheden indførte blanding af klassiske ideer og kvanteideer teorien og beregningerne mere og mere utilfredsstillende. Men så fremkom der i løbet af de 12 måneder, som begyndte i juli 1925, en periode med kreativitet uden lige i fysikkens historie, en serie afhandlinger af tyske forskere, der bragte emnet på fast begrebsmæssig grund. Afhandlingerne havde to indfaldsvinkler: (1) matrixmekanik, foreslået af Werner Heisenberg, Max Born og Pascual Jordan og (2) bølgemekanik, fremsat af Erwin Schrödinger. Hovedpersonerne var ikke altid høflige overfor hinanden. Heisenberg fandt de fysiske ideer i Schrödingers teori ”afskyelige” og Schrödinger var ”nedslået og frastødt” af manglen på synliggørelse i Heisenbergs metode. Imidlertid viste Schrödinger, der ikke lod sine følelser påvirke sine videnskabelige bedrifter, at til trods for de tilsyneladende forskelligheder er de to teorier matematisk lige gyldige. Den nærværende diskussion følger Schrödingers bølgemekanik, fordi den er mindre abstrakt og lettere at forstå end Heisenbergs matrixmekanik.

Schrödingers bølgemekanik

Schrödinger udtrykte Broglies hypotese vedrørende stoffets bølgeadfærd på en matematisk måde, så den kan tilpasses forskellige fysiske opgaver uden yderligere tilfældige antagelser. Han blev styret af en matematisk formulering fra optikken, i hvilken udbredelsen af lysstråler i lige linier kan udledes fra bølgebevægelsen, når bølgelængden er lille sammenlignet med det anvendte apparaturs dimensioner. På samme måde gik Schrödinger i gang med at finde en bølgeligning for stof, der ville give partikellignende udbredelse, når bølgelængden bliver forholdsvis lille. Hvis en partikel med masse m_e ifølge klassisk mekanik udsættes for en kraft så dens potentielle energi er V(x, y, z) på positionen x, y, z, så er summen af V(x, y, z) og den kinetiske energi p² / 2m_e lig med en konstant, partiklens totale energi E. Således,

Det antages, at partiklen er bundet – dvs., begrænset af potentialet til et særligt område i rummet, fordi dens energi E er utilstrækkelig til, at den kan undslippe. Da potentialet varierer med position, gør to andre mængder det også: implusen og derfor, ved udstrækning fra Boglie forholdet, bølgens bølgelængde. Da Schrödinger postulerede en bølgefunktion y (x, y, z), der varierer med position, erstattede han p i energiligningen ovenfor med en differential operator, der indeholdt Broglie forholdet. Så viste han, at y tilfredsstiller den partielle differentialligning

Dette er er den (tids-uafhængige) Schrödinger bølgeligning, som etablerede kvantemekanikken i en bredt anvendelig form. En vigtig fordel ved Schrödingers teori er, at man ikke behøver at postulere yderligere tilfældige kvantebetingelser. De krævede kvanteresultater følger fra visse fornuftige begrænsninger sat på bølgefunktionen – f.eks., at den ikke burde blive uendeligt stor på store afstande fra potentialets centrum.

Schrödinger anvendte sin ligning på hydrogen atomet, for hvilket potentialefunktionen, givet af klassisk elektrostatik, er proportional med -e² / r, hvor -e er ladningen på elektronen. Schrödinger løste ligningen for dette særlige potetiale med ligefrem, skønt ikke elementær, matematik. Kun visse adskilte værdier af E fører til acceptable funktioner y. Disse funtioner karakteriseres af en trio af heltal n, l, m, kaldet kvantetal. Værdien af E afhænger kun af heltallene n (1,2,3, etc.) og er identiske med dem, Bohr teorien giver. Kvantetallene l og m er forbundet med elektronens impulsmoment √(l(l + 1)) er størrelsen af elektronens impulsmoment og m er dets komponent langs en fysisk retning.

Kvadratet på bølgefunktionen, y ², har en fysisk tolkning. Schrödinger antog oprindeligt, at elektronen var spredt ud i rummet og at dens tæthed i punkt x, y, z var givet af værdien af y ² i det punkt. Næsten øjeblikkeligt foreslog Born, hvad der nu er den accepterede tolkning – nemlig, at y ² giver sandsynligheden for at finde elektronen ved x, y, z. Forskellen mellem de to tolkninger er vigtig. Hvis y ² er lille på en bestemt position, betyder den oprindelige tolkning, at en lille brøkdel af en elektron altid vil blive detekteret der. I Borns tolkning vil der ikke blive detekteret noget der det meste af tiden, men, når noget observeres, vil det være en hel elektron. Således erstattes begrebet om en elektron, der bevæger sig i en veldefineret bane omkring kernen, i bølgemekanikken med skyer, der beskriver elektronernes sandsynlige placeringer i forskellige tilstande.

Elektronspin og antipartikler

I 1928 frembragte den engelske fysiker Paul A.M. Dirac en bølgeligning for elektronen, der kombinerede relativitet med kvantemekanik. Shrödingers bølgeligning tilfredsstiller ikke kravene fra den specielle relativitetsteori, fordi den er baseret på et ikkerelativistisk udtryk for den kinetiske energi (p² / 2m_e). Dirac viste, at en elektron har et yderligere kvantetal m_s. Ulig de tre første kvantetal er m_s ikke et heltal og kan kun have værdierne + ½ og – ½. Det svarer til en yderligere form for impulsmoment tilskrevet en spindende bevægelse. (Det ovenfor nævnte impulsmoment skyldes elektronens kredsende bevægelse, ikke dens spin.) Begrebet spin impulsmoment blev indført i 1925 af Samuel A. Goudsmit og George E. Uhlenbeck, to graduate studerende på University of Leiden, Nederlandende, for at forklare målingerne af det magnetiske moment udført af Otto Stern og Walther Gerlach fra Tyskland adskillige år tidligere. En partikels magnetiske moment er nært relateret til dens impulsmoment; hvis impulsmomentet er nul, så er det magnetiske moment det også. Alligevel havde Stern og Gerlach observeret et magnetisk moment for elektroner i sølvatomer, som var kendt for at have nul orbitalt impulsmoment. Goudsmit og Uhlenbeck foreslog, at det observerede magnetiske moment skulle tilskrives spin impulsmoment.

Elektronspin hypotesen gav ikke bare en forklaring på det observerede magnetiske moment men redegjorde også for mange andre virkninger i atomspektroskopi, herunder ændringer i spektrallinier ved tilstedeværelsen af et magnetfelt (Zeeman virkningen), dobbeltlinier i alkaliske sprektre og finstruktur (nære dobbeltlinier og sæt på tre) i hydrogenspektret.

Dirac ligningen forudsagde også yderligere tilstande for elektronen, der endnu ikke var blevet observeret. Eksperimentel bekræftelse blev givet i 1932 ved opdagelen af positronen af den amerikanske fysiker Carl David Anderson. Hver partikel, beskrevet af Dirac ligningen, skal have en tilsvarende antipartikel, som kun adskiller sig i ladning. Positronen er lige sådan en antipartikel af den negativt ladede elektron og har den samme masse men en positiv ladning.

Identiske partikler og multielektron atomer

Da elektroner er identiske med (dvs. ikke til at skelne fra) hinanden, skal bølgefuntionen for et atom med mere end en elektron opfylde særlige forhold. Problemet med identiske partikler opstår ikke i klassisk fysik, hvor objekterne er i stor skala og altid kan skelnes, i det mindste i princippet. Der er imidlertid ingen måde, hvorpå man kan skelne mellem to elektroner i det samme atom og bølgefunktionens form skal afspejle denne kendsgerning. Den overordnede bølgefunktion y for et system med identiske partikler afhænger af alle partiklernes kooordinater. Hvis to af partiklernes koordinater ombyttes, skal bølgefunktionen forblive uændret eller, højst, gennemgå en tegnændring; tegnændringen tillades, fordi det er y ² der hænder i den fysiske tolkning af bølgefunktionen. Hvis y's fortegn forbliver uændret siges bølgefunktionen at være symmetrisk med hensyn til ombytning; hvis fortegnet skifter er funktionen antisymmetrisk.

Symmetrien i bølgefunktionen for identiske partikler er nært forbundet med partiklernes spin. I kvantefeltteori (kvanteelektrodynamik) kan det vises, at partikler med halvtalligt spin (1/2, 3/2, etc.) har antisymmetriske bølgefunktioner. De kaldes fermioner efter den italienskfødte fysiker Enrico Fermi. Eksempler på fermioner er elektroner, protoner og neutroner, som alle har spin 1/2. Partikler med nul eller heltalligt spin (dvs. mesoner, fotoner) har symmetriske bølgefunktioner og kaldes bosoner efter den indiske matematiker og fysiker Satyendra Nath Bose, som først anvendte ideen om symmetri på fotoner i 1924-25.

Kravet om antisymmetriske bølgefuntioner for fermioner fører til et fundamentalt resultat, kendt som udelukkelsesprincippet, som først blev foreslået i 1925 af den østrigske fysiker Wolfgang Pauli. Udelukkelsesprincippet erklærer, at to fermioner i det samme system ikke kan være i den samme kvantetilstand. Hvis de var, ville ombytning af de to sæt koordinater slet ikke ændre bølgefunktionen, hvilket er i modstrid med resultatet, at bølgefunktionen skal skifte fortegn. Således kan to elektroner i det samme atom ikke have identiske sæt værdier for de fire kvantetal n, l, m, m_{s .} Udelukkelsesprincippet danner grundlaget for mange af stoffets egenskaber, inklusive grundstoffernes periodiske system, kemiske bindingers natur og elektroners adfærd i faste stoffer; det sidste bestemmer derefter om et fast stof er et metal, en isolator eller en halvleder.

Schrödingerligningen kan ikke løses præcist for atomer med mere end én elektron. Beregningens principper er godt forstået, men opgaven kompliceres af antallet af partikler og de forskellige kræfter, der virker. Kræfterne inkluderer de elektrostatiske kræfter mellem kernen og elektronerne og mellem selve elektronerne, såvel som svagere magnetiske kræfter, der opstår fra elektronernes spin og orbitale bevægelser. Trods disse vanskeligheder har tilnærmelsesmetoder indført af den engelske fysiker Douglas R. Hartree og andre i 1920'erne opnået betragtelig succes. Sådanne metoder starter med at antage, at hver elektron bevæger sig uafhængigt i et middel elektrisk felt på grund af kernen og de andre elektroner – dvs. de gensidige forhold mellem elektronernes positioner ignoreres. Hver elektron har sin egen bølgefunktion, kaldet en orbital. Den overordnede bølgefunktion for alle elektronerne i atomet opfylder udelukkelsesprincippet. Så korrigeres de beregnede energier afhængigt af styrken af elektronernes gensidige forhold og de magnetiske kræfter.

Tidsafhængig Schrödinger ligning

Samtidigt med at Schrödinger foreslog sin tidsuafhængige ligning til beskrivelse af de stationære tilstande, foreslog han også en tidsafhængig ligning til beskrivelse af, hvordan et system ændrer sig fra en tilstand til en anden. Ved at erstatte energien E i Schrödingers ligning med en tidsafledt operator generaliserede han sin bølgeligning til at bestemme variationen af bølgefunktionen med tiden såvel som dens rumlige variation. Den tidsafhængige Schrödinger ligning:

Mængden i er kvadratroden af -1. Funktionen y varierer med tiden t såvel som med positionen x, y, z. For et system med konstant energi, E, har y formen

hvor exp står for eksponentialfunktionen og den tidsafhængige Schrödinger ligning reducerer til den tidsuafhængige form.

Sandsynligheden for en overgang mellem én atomar stationær tilstand og en anden tilstand kan beregnes ved hjælp af den tidsafhængige Schrödinger ligning. For eksempel kan et atom spontant ændre sig fra en tilstand til en anden tilstand med mindre energi og udstråle energiforskellen som en foton med frekvensen givet af Bohr forholdet. Hvis elektromagnetisk stråling tilføres et sæt atomer og hvis strålingens frekvens passer med energiforskellen mellem to stationære tilstande, kan overgange stimuleres. I en stimuleret overgang kan atomets energi stige – dvs. atomet kan absorbere en foton fra strålingen – eller atomets energi kan falde med udsendelse af en foton, som bidrager til strålingens energi. Sådanne stimulerede udstrålingsprocesser udgør den grundlæggende mekanisme for laseres virkemåde. Sandsynligheden for en overgang fra en tilstand til en anden afhænger af værdierne af kvantetallene l, m, m_s for begyndelsestilstanden og den afsluttende tilstand. For de fleste værdier er sandsynligheden effektivt nul. For visse ændringer i kvantetallene er der imidlertid en endelig sandsynlighed, som opgøres i valgreglerne. For eksempel ændrer l værdien sig ifølge en vigtig valgregel med én, fordi fotoner har spin 1. Valgreglerne for stråling forholder sig til de stationære tilstandes impulsmoment. Den absoberede eller udstrålede foton har sit eget impulsmoment og valgreglerne afspejler bevarelsen af impulsmoment mellem atomerne og strålingen.

Tunnelfænomenet

Tunnelfænomenet, som ikke har nogen modpart i klassisk fysik, er en vigtig konsekvens af kvantemekanik. Overvej en partikel med energi E i det indre område af en endimensional potentialbrønd V(x), som vist i Figur 1. (En potentialbrønd er et potentiale, som har en lavere værdi i et bestemt område af rummet end i naboområderne.) I klassisk mekanik gælder det, at hvis E < V₀ (potentialbarrierens maksimumhøjde) forbliver partiklen i brønden for evigt; hvis E > V₀ undslipper partiklen. I kvantemekanik er situationen ikke så enkel. Partiklen kan undslippe selv om dens energi E er under barrierens højde V₀, skønt sandsynligheden for at undslippe er lille medmindre E er tæt på V₀ . I det tilfælde kan partiklen gennemtrænge potentialbarrieren og dukke op med samme energi E.

Figur 1: Tunnelfænomenet. Klassisk er en partikel bundet i det centrale område C, hvis dens energi E er mindre end V₀ , men i kvanteteori kan partiklen gennemtrænge potentialbarrieren og undslippe.

Tunnelfænomenet har mange vigtige anvendelser. For eksempel beskriver det en type radioaktivt henfald, i hvilket en kerne udsender en alfapartikel (en helium kerne). Ifølge kvanteforklaringen, som blev givet uafhængigt af George Gamow og af Ronald W. Gurney og Edward Condon i 1928, er alfapartiklen indespærret før henfaldet af et potentiale med form som i Figur 1. For en given art kerne er det muligt at måle energien E af den udsendte alfapartikel og middellevetiden t for kernen før henfaldet. Kernens levetid er et mål for sandsynligheden for tunnelering gennem barrieren – jo kortere levetid, jo større sandsynlighed. Med sandsynlige antagelser om potentialfunktionens generelle form er det muligt at beregne et forhold mellem t og E, der kan anvendes på alle alfaudsendere. Denne teori, som er bekræftet ved eksperimenter, viser, at sandsynligheden for tunnelering, og derfor værdien af t, er yderst følsom overfor værdien af E. For alle kendte udsendere af alfapartikler varierer værdien af E fra omkring 2 til 8 millioner elektronvolt, eller MeV (1 MeV = 10⁶ elektronvolt). Således varierer værdien af E kun med en faktor 4, hvorimod området for t er fra omkring 10¹¹ år ned til omkring 10^-6 sekund, en faktor på 10²⁴. Det ville være vanskeligt at redegøre for denne følsomhed hos t overfor værdien af E med nogen anden teori end det kvantemekaniske tunnelfænomen.

Aksiomatisk indfaldsvinkel

Skønt de to Schrödinger ligninger danner en vigtig del af kvantemekanik, er det muligt at præsentere emnet på en mere generel måde. Dirac gav en elegant fremstilling af en selvindlysende indfaldsvinkel baseret på observable og tilstande i en klassisk lærebog kaldet The Principles of Quantum Mechanics. (Bogen, som blev udsendt i 1930, trykkes stadig.) En observabel er alt, der kan måles – energi, position, en komponent af impulsmomentet og så videre. Enhver observabel har et sæt tilstande, hvor hver tilstand repræsenteres af en algebraisk funktion. Med hver tilstand er forbundet et tal, der giver resultatet af en måling af observablen. Overvej en observabel med N tilstande, betegnet med y₁, y₂, ... , y_N , og tilsvarende målingsværdier a₁, a₂ …, a_N . Et fysisk system – dvs. et atom i en bestemt tilstand – repræsenteres af en bølgefunktion y, der kan udtrykkes som en lineær kombination, eller blanding, af observablens tilstande. Således kan y skrives som

For en given y er mængderne c₁, c₂ , etc. et sæt tal, der kan beregnes. Generelt er tallene komplekse, men i den nærværende diskussion antages de at være reale tal.

For det første postulerer teorien, at resultatet af en måling skal være en a-værdi – dvs. a₁, a₂ eller a₃, etc. Ingen anden værdi er mulig. For det andet er sandsynligheden før en måling udføres for at opnå værdien a₁ lig med c₁², og for at opnå værdien a₂ er den c₂² og så videre. Hvis den opnåede værdi f.eks. er a₅ hævder teorien, at efter målingen er systemets tilstand ikke den oprindelige y, men er ændret til y₅, tilstanden der svarer til a₅.

Der følger en række konsekvenser af denne påstand. For det første kan resultatet af en måling ikke forudsiges med sikkerhed. Man kan kun forudsige sandsynligheden for et bestemt resultat, selv om man kender begyndelsestilstanden (repræsenteret af funktionen y) nøjagtigt. For det andet vil identiske målinger, der udføres på et stort antal identiske systemer, som alle er i den identiske tilstand y, give forskellige værdier for målingerne. Det er, selvfølgelig, helt i modstrid med klassisk fysik og sund fornuft, som siger, at den samme måling på det samme objekt i den samme tilstand skal frembringe det samme resultat. Desuden, ifølge teorien ændrer selve handlingen, at måle, ikke blot systemets tilstand, men den gør det på en ubestemt måde. Sommetider ændrer den tilstanden til y₁, sommetider til y₂, og så videre.

Der er en vigtig undtagelse fra erklæringerne ovenfor. Antag, at før målingen udføres, er tilstanden af y en af y'erne, f.eks. y = y₃. Så er c₃ = 1 og alle de andre c'er er nul. Dette betyder, at før målingen udføres er sandsynligheden for at opnå værdien a₃ en og sandsynligheden for at opnå enhver anden værdi af a er nul. Med andre ord kan resultatet af målingen i dette særlige tilfælde forudsiges med bestemthed. Desuden vil tilstanden efter målingen være y₃, det samme som den var før. Således forstyrrer målingen i dette særlige tilfælde ikke systemet. Hvad end systemets begyndelsestilstand er, så vil to målinger i hurtig rækkefølge efter hinanden (så ændringen i bølgefunktionen givet af den tidsafhængige Schrödinger ligning er ubetydelig) give det samme resultat.

Værdien af én observabel kan bestemmes med en enkelt måling. Værdien af to observable for et givet system kan kendes samtidig forudsat, at de to observable har det samme sæt tilstandsfunktioner y₁, y₂, ... , y_N . I dette tilfælde vil måling af den første observabel resultere i en tilstandsfunktion, der er en af y'erne. Fordi denne også er en tilstandsfunktion for den anden observabel, kan resultatet af at måle den anden forudsiges med bestemthed. Således kendes værdierne af begge observable. (Skønt y'erne er de samme for de to observable, er de to sæt a værdier generelt forskellige.) De to observable kan måles gentagne gange i enhver rækkefølge. Efter den første måling forstyrrer ingen af målingerne systemet og et unikt par værdier for de to observable opnås.

Uforenelige observable

Målingen af to observable med forskellige sæt tilstandsfunktioner er en helt anden situation. Måling af en observabel giver et bestemt resultat. Tilstandsfunktionen efter målingen er, som altid, en af den observabels tilstande; den er imidlertid ikke en tilstandsfunktion for den anden observabel. Måling af den anden observabel forstyrrer systemet og systemets tilstand er ikke længere en af den første observabels tilstande. Generelt frembringer måling af den første observabel igen ikke det samme resultat som første gang. For at opsummere kan begge mængder ikke kendes samtidig og de to observable siges at være uforenelige.

Figur 2: Magnet i Stern-Gerlach eksperiment. N og S er en magnets nord- og sydpoler. Den knivskarpe kant ved S resulterer i et meget stærkere magnetfelt i punkt P end i Q.

Et særligt eksempel på denne opførsel er målingen af impulsmomentets komponent langs to indbyrdes vinkelrette retninger. Stern-Gerlach eksperimentet nævnt ovenfor gik ud på at måle impulsmomentet af et sølvatom i grundtilstanden. Ved gentagelse af eksperimentet ledes en stråle af sølvatomer mellem en magnets poler. Polerne er formet, så magnetfeltet varierer meget i styrke over en meget lille afstand (Figur 2). Apparaturet bestemmer m_s kvantetallet, som kan være +½ eller –½. Ingen andre værdier opnås. I dette tilfælde har observablen således kun to tilstande – dvs., N = 2. Det ujævne magnetfelt frembringer en kraft på sølvatomerne i en retning, der afhænger af atomernes spintilstand. Resultatet vises skematisk i Figur 3. En stråle af sølvatomer ledes gennem magneten A. Atomerne i tilstanden med m_s = +½ afbøjes opad og dukker op som stråle 1, mens dem med m_s = -½ afbøjes nedad og dukker op som stråle 2. Hvis magnetfeltets retning er x-aksen, måler apparaturet S_x, som er x-komponenten af spin impulsmomentet. Atomerne i stråle 1 har S_x = +/2, mens dem i stråle 2 har S_x = -/2. I et klassisk billede repræsenterer disse to tilstande atomer, der spinder omkring x-aksens retning med modsatte opfattelser af rotation.

Y-komponenten af spin impulsmomentet S_y kan også kun have værdierne +/2 og -/2; imidlertid er de to tilstande for S_y ikke de samme som for S_x. I virkeligheden er hver af tilstandene for S_x en lige blanding af tilstandene for S_y og omvendt. Igen kan man forestille sig de to S_y tilstande som repræsenterende atomer med modsatte opfattelser af rotation om y-aksen. Disse klassiske billeder af kvantetilstande er hjælpsomme, men kun til et vist punkt. For eksempel siger kvanteteorien, at hver af tilstandene, der svarer til spin omkring x-aksen er en overlejring af de to tilstande med spin omkring y-aksen. Der er ingen måde at forestille sig dette på; det har absolut intet klassisk modstykke. Man er simpelthen nødt til at acceptere resultatet som en konsekvens af teoriens aksiomer. Antag , at, som i Figur 3, atomerne i stråle 1 ledes ind i en anden magnet B, som har et magnetfelt langs y-aksen vinkelret på x. Atomerne dukker op fra B og går i lige antal gennem dens to udgangskanaler. Klassisk teori siger, at de to magneter tilsammen har målt både x og y komponenten af spin impulsmomentet og at atomerne i stråle 3 har S_x = +/2, S_y = +/2, mens dem i stråle 4 har S_x = +/2, S_y = -/2. Imidlertid er klassisk teori forkert, for hvis stråle 3 sendes gennem endnu en magnet C, med sit magnetfelt langs x, deler atomerne sig lige til strålerne 5 og 6 i stedet for at dukke op som en enkelt stråle 5 (som de ville, hvis de havde S_x = +/2). Den korrekte erklæring er således, at strålen, der går ind i B, har S_x = +/2 og er sammensat af en lige blanding af tilstandene S_y = +/2 og S_y = -/2 – dvs. x-komponenten af impulsmomentet kendes, men y-komponenten gør ikke. Tilsvarende har stråle 3, der forlader B S_y = +/2 og er en lige blanding af tilstandene S_x = +/2 og S_x = -/2; y-komponenten af impulsmomentet kendes, men x-komponenten gør ikke. Informationen om S_x mistes på grund af forstyrrelsen forårsaget af magnet B i målingen af S_y.

Figur 3: Målinger af x og y komponenterne af sølvatomers, S, impulsmoment i grundtilstanden. A, B og C er magneter med uensartede magnetfelter. Pilene viser middelretningen af hvert magnetfelt.

Heisenberg ubestemthedsprincip

Observablerne, vi har diskuteret indtil videre, har haft adskilte sæt eksperimentelle værdier. For eksempel er værdierne af et bundet systems energi altid adskilte og impulsmomentets komponenter har værdier, der tager formen m, hvor m enten er et heltal eller et halvt heltal, positivt eller negativt. På den anden side kan en partikels position eller en fri partikels lineære impuls tage sammenhængende værdier i både kvanteteori og klassisk teori. Matematikken for observable med et sammenhængende spektrum af målte værdier er noget mere kompliceret end for det adskilte tilfælde men udgør ikke noget pricipielt problem. En observabel med et sammenhængende spektrum af målte værdier har et uendeligt antal tilstandsfunktioner. Tilstandsfunktionen y for systemet betragtes stadig som en kombination af observablens tilstandsfunktioner, men summen i ligning (10) skal erstattes af et integrale.

Der kan laves målinger af en partikels position x og x-komponenten af dens lineære impuls, betegnet p_x. Disse to observable er uforenelige, fordi de har forskellige tilstandsfunktioner. Fænomenet diffraktion, som er nævnt ovenfor, belyser det umulige i at måle position og impuls samtidigt og præcist. Hvis en parallel, ensfarvet lysstråle passerer gennem en spalte (Figur 4A), varierer dens intensitet med retningen som vist i Figur 4B. Lyset har nul intensitet i visse retninger. Bølgeteori viser, at det første nul sker ved en vinkel q₀ , givet ved q₀ = l/b, hvor l er lysets bølgelængde og b er spaltens bredde. Hvis spaltens bredde reduceres, stiger q₀, - dvs. det diffrakterede lys spredes mere ud. Således måler q₀ strålens spredning.

Figur 4: (A) Parallelt ensfarvet lys falder vinkelret ind på en spalte, (B) variation i lysets intensitet med retningen efter det har passeret gennem spalten. Hvis eksperimentet gentages med elektroner i stedet for lys, ville det samme diagram repræsentere variationen i elektronernes intensitet (dvs., relativt antal).

Eksperimentet kan gentages med en strøm af elektroner i stedet for en lysstråle. Ifølge Broglie har elektroner bølgelignende egenskaber; derfor burde strålen af elektroner, der dukker frem fra spalten, blive bredere og sprede ud som en stråle af lysbølger. Dette er blevet observeret i eksperimenter. Hvis elektronerne har hastigheden u i retningen fremad (dvs. y-retningen i Figur 4A), er deres lineære impuls p = m_eu. Overvej p_x, komponenten af impuls i x-retningen. Efter elektronerne har passeret gennem åbningen, resulterer spredningen i deres retninger i en ubestemthed af p_x med mængden

hvor l er elektronernes bølgelængde og, ifølge Broglie formlen, lig med h/p. Således Dp_x = h/b. Nøjagtigt hvor en elektron passerede gennem spalten er ukendt; det er kun bestemt, at en elektron gik igennem et eller andet sted. Derfor er ubestemtheden ved en elektrons x-position, umiddelbart efter den går igennem Dx = b/2. Således er ubestemthedernes produkt i størrelsesordenen . Mere eksakt analyse viser, at produktet har en lavere grænse givet ved

Dette er det velkendte Heisenberg ubestemthedsprincip for position og impuls. Det erklærer, at der er en grænse for præcisionen, med hvilken et objekts hastighed og impuls kan måles samtidigt. Afhængigt af de eksperimentelle forhold kan hver af mængderne måles så præcist som ønsket (i det mindste i princippet), men jo mere præcist en af mængderne måles, jo mindre præcist kendes den anden.

Ubestemthedsprincippet er kun af betydning på den atomare skala på grund af den lille værdi af h i dagligdags enheder. Hvis positionen af et makroskopisk objekt med en masse på, f.eks., et gram måles med en præcision på 10^-6 meter, erklærer ubestemthedsprincippet, at dets hastighed ikke kan måles med bedre nøjagtighed end omkring 10^-25 meter pr. sekund. En sådan begrænsning er næppe bekymrende. Men hvis en elektron befinder sig i et atom, som er omkring 10^-10 meter i tværsnit, giver princippet en minimum ubestemthed i hastigheden på omkring 10⁶ meter pr. sekund.

Fornuftslutningen ovenfor, som fører til ubestemthedsprincippet, er baseret på elektronens bølge-partikel dualitet. Da Heisenberg først foreslog princippet i 1927, var hans fornuftslutning imidlertid baseret på fotonens bølge-partikel dualitet. Han overvejede processen med måling af en elektrons position ved at observere den i et mikroskop. Diffraktionsvirkninger på grund af lysets bølgenatur gør billedet udtværet; den resulterende ubestemthed i elektronens position er tilnærmet lig med lysets bølgelængde. For at mindske denne ubestemthed er det nødvendigt at anvende lys med kortere bølgelængde – dvs. gammastråler. Ved produktionen af billedet springer gammastråle fotonen imidlertid væk fra elektronen, hvilket giver Compton virkningen (se ovenfor: Tidlige udviklinger: Spredning af røntgenstråler). Som resultat af kollisionen farer elektronen tilbage på en statistisk tilfældig måde. Den resulterende ubestemthed i elektronens impuls er proportional med fotonens impuls, som er omvendt proportional med fotonens bølgelængde. Så igen gælder det, at stigende præcision i viden om elektronens position kun opnås på bekostning af dalende præcision i viden om dens impuls. En detaljeret beregning af processen giver det samme resultat som før (ligning [12]). Heisenbergs fornuftslutning tydeliggør den kendsgerning, at jo mindre den observerede partikel er, jo mere betydningsfuldt er ubestemthedsprincippet. Når et stort legeme observeres, springer fotoner stadig væk fra det og ændrer dets impuls, men, betragtet som en brøkdel af legemets udgangsimpuls, er ændringen uden betydning.

Schrödinger og Dirac teorierne giver en præcis værdi for hver stationær tilstands energi, men i virkeligheden har tilstandene ikke en præcis energi. Den eneste undtagelse er grundtilstanden (lavest energi). I stedet er tilstandenes energi spredt over et lille område. Spredningen opstår af den kendsgerning, at, da elektronen kan lave en overgang til en anden tilstand, har begyndelsestilstanden en endelig levetid. Overgangen er en tilfældig proces og derfor har forskellige atomer i den samme tilstand forskellige levetider. Hvis middellevetiden betegnes t, viser teorien, at begyndelsestilstandens energi har en spredning i energi DE, givet af

Denne energispredning viser sig i en spredning af frekvenserne af den udsendte stråling. Derfor er spektrallinierne ikke uendeligt skarpe. (Nogle eksperimentelle forhold kan også gøre en linie bredere, men deres virkninger kan reduceres; imidlertid er den nævnte virkning fundamental og kan ikke reduceres.) Ligning 13 er endnu et eksempel på Heisenbergs ubestemthedsprincip; generelt gælder det, at hvis en måling af varighed t gøres på energien i et system, forstyrrer målingen systemet og forårsager at energien er ubestemt med en mængde DE, hvis størrelse gives af ligningen ovenfor.

Kvanteelektrodynamik

Anvendelsen af kvanteteori på vekselvirkningen mellem elektroner og stråling kræver en kvantebehandling af Maxwells feltligninger, som er grundlaget for elektromagnetisme og elektronens relativistiske teori formuleret af Dirac (se Elektronspin og antipartikler ovenfor). Den resulterende kvantefeltteori kaldes kvanteelektrodynamik eller QED.

QED redegør for elektroners, positroners og fotoners opførsel og vekselvirkninger. Den behandler processer, der involverer skabelsen af stoflige partikler fra elektromagnetisk energi og med de omvendte processer, hvor en stoflig partikel og dens antipartikel annihilerer hinanden og frembringer energi. I begyndelsen var teorien plaget af frygtelige matematiske vanskeligheder, fordi de beregnede værdier for mængder, som elektronens ladning og masse, viste sig at være uendelige. Imidlertid behandlede et opfindsomt sæt teknikker, som blev udviklet sidst i 1940’erne af Hans Bethe, Julian S. Schwinger, Tomoga Shin’ichiro, Richard P. Feynman og andre, systematisk uendelighederne for at opnå endelige værdier for de fysiske mængder. Deres metode kaldes renormalisering. Teorien har givet nogle bemærkelsesværdigt nøjagtige forudsigelser.

Ifølge Dirac teorien har to særlige tilstande i hydrogen med forskellige kvantetal den samme energi. Imidlertid forudsiger QED en lille forskel i deres energier; forskellen kan bestemmes ved at måle frekvensen af den elektromagnetiske stråling, der frembringer overgange mellem de to tilstande. Denne virkning blev først målt af Willis E. Lamb, Jr. og Robert Retherford i 1947. Dens fysiske oprindelse ligger i elektronens vekselvirkning med de tilfældige fluktuationer i det omgivende elektromagnetiske felt. Disse fluktuationer, som findes selv i fravær af et påført felt, er et kvantefænomen. Nøjagtigheden af eksperiment og teori på dette område kan måles gennem to nylige værdier for adskillelsen mellem de to tilstande udtrykt ved hjælp af frekvensen af den stråling, der frembringer overgangene:

Et endnu mere iøjnefaldende eksempel på QEDs succes gives af værdien for m_e , den frie elektrons magnetiske dipol impuls. Da elektronen spinder og har elektrisk ladning, opfører den sig som en lille magnet, hvis styrke udtrykkes af værdien af m_e . Ifølge Dirac teorien er m_e nøjagtigt lig med m_B = e/2m_e , en mængde som kaldes Bohr magneton; imidlertid forudsiger QED at m_e = (1 + a) m_B , hvor a er et lille tal, omtrent 1 / 860. Igen er den fysiske oprindelse til QED korrigeringen elektronens vekselvirkning med tilfældige svingninger i det omgivende elektromagnetiske felt. Den bedste eksperimentelle bestemmelse af m_e involverer ikke måling af selve mængden men af det lille korrigeringsled m_e - m_B . Dette forbedrer eksperimentets følsomhed meget. De seneste resultater for værdien af a er

Da selve a repræsenterer et lille korrigeringsled, måles elektronens magnetiske dipol impuls med en nøjagtighed på omkring en del af 10¹¹. Som en af de mest præcist bestemte mængder i fysik kan elektronens magnetiske dipol impuls beregnes korrekt ud fra kvanteteorien indenfor en del af 10¹⁰.

Tolkningen af kvantemekanik

Skønt kvantemekanikken er blevet anvendt til opgaver i fysik med stor succes, forekommer nogen af dens ideer mærkelige. Nogle få af deres betydninger overvejes her.

Elektronen: bølge eller partikel?

Figur 5: (A) Ensfarvet lys, som falder ind på et par spalter, giver interferensmønster (vekslende lyse og mørke bånd) på en skærm, (B) variation af lysets intensitet ved skærmen med begge spalter åbne. Med en enkelt spalte er der intet interferensmønster; variationen i intensitet er vist med den punkterede linie. Som med Figur 4B ville det samme diagram give variationen i elektronernes intensitet i det tilsvarende elektron eksperiment.

Youngs førnævnte eksperiment, hvori en parallel stråle af ensfarvet lys ledes gennem et par snævre parallele spalter (Figur 5A), har en elektron modpart. I Youngs oprindelige eksperiment varierer lysets intensitet med retningen efter at være passeret gennem spalterne (Figur 5B). Intensiteten svinger på grund af interferens mellem lysbølgerne, der dukker frem fra de to spalter; svingningens hyppighed afhænger af lysets bølgelængde og adskillelsen mellem de to spalter. Svingningen skaber et mønster af skiftende lyse og mørke bånd, der er moduleret af diffraktionsmønstret fra hver spalte. Hvis en af spalterne tildækkes, forsvinder interferensen og man ser kun diffraktionsmønstret (vist som en punkteret linie i Figur 5B).

Youngs eksperiment kan gentages med elektroner, som alle har samme impuls. Skærmen i det optiske eksperiment erstattes af et tætpakket net af elektrondetektorer. Der er mange apparater til detektion af elektroner; det mest almindelige er scintillationstællere. Når en elektron passerer gennem et scintillerende materiale som jodnatrium, frembringer materialet et lysglimt, der giver en spændingspuls, som kan forstærkes og optages. Mønstret af elektroner, som hver detektor optager, er det samme som det, der forudsiges for bølger med bølgelængder givet af Broglie formlen. Således giver eksperimentet afgørende vidnesbyrd om elektroners bølgeadfærd.

Hvis eksperimentet gentages med en meget svag kilde til elektroner, så kun én elektron passerer gennem spalterne, registrerer en enkelt detektor en elektrons ankomst. Dette er en godt stedfæstet hændelse, som er karakteristisk for en partikel. Hver gang eksperimentet gentages, passerer en elektron gennem spalterne og detekteres. En graf plottet med detektor position langs den ene akse og antallet af elektroner langs den anden ser nøjagtigt ud som det svingende interferensmønster i Figur 5B. Således er intensitetsfunktionen i figuren proportional med at elektronen bevæger sig i en bestemt retning efter den har passeret gennem spalterne. Bortset fra dens enheder er funktionen identisk med y² , hvor y er løsningen til den tidsuafhængige Schrödinger ligning for dette særlige eksperiment.

Hvis en af spalterne tildækkes, forsvinder interferensmønstret og erstattes af diffraktionsmønstret for en enkelt spalte. Begge spalter er således nødvendige for at frembringe interferensmønstret. Men hvis elektronen er en partikel, forekommer det fornuftigt at antage, at den kun har passeret gennem en af spalterne. Apparatet kan ændres, så man kan fastslå hvilken spalte ved at placere en tynd ringformet ledning omkring hver spalte. Når en elektron passerer gennem en ring, frembringer den et lille elektrisk signal, der viser, hvilken spalte den gik igennem. Men så forsvinder interferensmønstret og enkeltspalte diffraktionsmønstret kommer tilbage. Da begge spalter behøves for at interferensmønstret dukker op og da det er umuligt at vide, hvilken spalte elektronen passerede igennem uden at ødelægge det mønster, tvinges man til den konklusion, at elektronen går gennem begge spalter samtidigt.

Som opsummering kan vi sige, at eksperimentet viser både bølge- og partikelegenskaber ved elektronen. Bølgeegenskaben forudsiger sandsynligheden for bevægelsesretningen, før elektronen detekteres; på den anden side viser den kendsgerning, at elektronen detekteres på et bestemt sted, at den har partikelegenskaber. Derfor er svaret på spørgsmålet om elektronen er en bølge eller en partikel, at den ikke er nogen af delene. Den er et objekt, der udviser enten bølge- eller partikelegenskaber afhængigt af den type måling, der udføres på det. Med andre ord kan man ikke tale om en elektrons indre egenskaber; i stedet skal man overveje egenskaberne ved elektronen og måleapparaturet sammen.

Skjulte variable

Et fundamentalt begreb i kvantemekanik er tilfældighed, eller ubestemthed. Generelt forudsiger teorien kun sandsynligheden for et bestemt resultat. Overvej tilfældet med radioaktivitet. Tænk på en kasse atomer med identiske kerner, der kan henfalde med udsendelse af en alfapartikel. I et givet tidsinterval, vil en bestemt brøkdel henfalde. Teorien kan fortælle præcist, hvad den brøkdel vil være, men den kan ikke forudsige hvilken særlig kerne, der vil henfalde. Teorien hævder, at alle kernerne i begyndelsen af tidsintervallet er i en identisk tilstand og at henfaldet er en fuldstændigt tilfældig proces. Selv i klassisk fysik forekommer mange processer tilfældige. For eksempel siger man, at når et roulettehjul spindes, vil kuglen tilfældigt falde ind i en af de nummererede afdelinger i hjulet. Baseret på denne tro giver og accepterer kasinoejeren og spillerne identiske odds mod hvert tal for hvert kast. Imidlertid er kendsgerningen, at det vindende tal kunne forudsiges, hvis man noterede den eksakte placering af hjulet, når croupieren løsnede kuglen, hjulet starthastighed og forskellige andre fysiske parametre. Det er kun uvidenhed om startforholdene og vanskeligheden med at udføre beregningerne der gør, at resultatet forekommer tilfældigt. I kvantemekanik påstås tilfældigheden derimod at være absolut fundamental. Teorien siger, at skønt én kerne henfaldt og den anden ikke gjorde, var de tidligere i den identiske tilstand.

Mange eminente fysikere, inklusive Einstein, har ikke accepteret denne ubestemthed. De har forkastet ideen, at kernerne i begyndelsen var i den identiske tilstand. I stedet postulerede de, at der må være en eller anden yderligere egenskab – ukendt i øjeblikket, men ikke desto mindre eksisterende – der er forskellig for de to kerner. Denne type ukendt egenskab betegnes som en skjult variabel; hvis den fandtes, ville den genoprette fysikkens årsagssammenhæng. Hvis de skjulte variablers begyndelsesværdier var kendt, ville det være muligt at forudsige hvilke kerner, der ville henfalde. En sådan teori skulle, naturligvis, også gøre rede for den rigdom af eksperimentelle data, som almindelig kvantemekanik forklarer ud fra nogle få, enkle antagelser. Der er blevet gjort forsøg af Broglie, David Bohm og andre på at konstruere teorier baseret på skjulte variable, men teorierne er meget komplicerede og fortænkte. For eksempel ville elektronen kun skulle gå igennem én spalte i tospalte eksperimentet. For at forklare at interferens kun sker, når den anden spalte er åben, er det nødvendigt at postulere en særlig kraft på elektronen, som kun eksisterer, når den spalte er åben. Sådanne kunstige tilføjelser gør skjulte variabel teorier utiltrækkende og der er kun lille støtte til dem blandt fysikere.

Det ortodokse syn på kvantemekanik – og det vi antager i nærværende artikel – er kendt som Københavnertolkningen, fordi dens hovedperson, Niels Bohr, arbejdede i den by. Københavnersynet på at forstå den fysiske verden understreger vigtigheden af at basere teori på, hvad der kan observeres og måles eksperimentelt. Derfor forkaster den ideen om skjulte variable som mængder, der ikke kan måles. Københavnersynspunktet er, at den observerede ubestemthed i naturen er fundamental og ikke afspejler en utilstrækkelighed i den nuværende videnskabelige viden. Man bør derfor acceptere ubestemtheden uden af prøve at ”forklare” den og se, hvilke konsekvenser den har.

Der er blevet gjort forsøg på at forbinde eksistensen af fri vilje med kvantemekanikkens ubestemthed, men det er vanskeligt at se, hvordan denne side af teorien gør fri vilje mere plausibel. Tværtimod indebærer fri vilje rationel tænkning og beslutning, hvor essensen af ubestemtheden i kvantemekanik er, at den skyldes indbygget tilfældighed.

Einstein, Podolsky og Rosen paradoks

I 1935 analyserede Einstein og to andre fysikere i USA, Boris Podolsky og Nathan Rosen, et tankeeksperiment om at måle position og impuls i et par vekselvirkende systemer. Ved anvendelse af konventionel kvantemekanik opnåede de nogle overraskende resultater, som ledte dem til at konkludere, at teorien ikke giver en fuldstændig beskrivelse af den fysiske virkelighed. Deres resultater, der er så mærkelige at de synes paradoksiale, er baseret på upåklagelig fornuftslutning, men deres konklusion, at teorien er ufuldstændig, følger ikke nødvendigvis heraf. Bohm forenklede deres eksperiment men beholdt det centrale punkt i deres fornuftslutning; denne diskussion følger hans redegørelse.

Protonen har, som elektronen, spin ½ ; ligegyldigt hvilken retning man vælger at måle komponenten af dens spin impulsmoment i, er værdierne således altid +/2 eller -/2. (Den nærværende diskussion drejer sig kun om spin impulsmoment og ordet spin udelades fra nu af.) Det er muligt at opnå et system bestående af et par protoner tæt på hinanden og med totalt impulsmoment lig med nul. Hvis værdien af en af komponenterne af impulsmoment for en af protonerne således er +/2 langs en valgt retning, skal værdien for komponenten i den samme retning for den anden partikel være -/2. Antag, at de to protoner bevæger sig i modsatte retninger, indtil de er langt fra hinanden. Systemets totale impulsmoment forbliver nul og hvis man måler komponenten af impulsmoment i den samme retning for hver af de to partikler, er resultatet et par lige store og modsatte værdier. Derfor kan man, efter at mængden er målt for en af protonerne, forudsige den for den anden proton; den anden måling er unødvendig. Som tidligere nævnt ændrer måling af en mængde systemets tilstand. Så hvis måling af S_x (x-komponenten af impulsmoment) for proton 1 giver værdien +/2, svarer tilstanden af proton 1 efter målingen til S_x = +/2 og tilstanden af proton 2 svarer til S_x = -/2. Imidlertid kan enhver retning vælges til måling af komponenten af impulsmoment. Ligemeget hvilken retning man vælger, svarer tilstanden af proton 1 efter målingen til en bestemt komponent af impulsmoment omkring den retning. Endvidere: da proton 2 skal have den modsatte værdi for den samme komponent følger det, at målingen på proton 1 resulterer i en bestemt tilstand for proton 2 i forhold til den valgte retning til trods for den kendsgerning, at de to partikler kan være millioner af kilometer fra hinanden og ikke vekselvirker med hinanden på det tidspunkt. Einstein og hans to medarbejdere mente, at denne konklusion var så indlysende forkert, at den kvantemekaniske teori, som den var baseret på, måtte være ufuldstændig. De konkluderede, at den korrekte teori ville indeholde en eller anden skjult variabel egenskab, der ville genoprette den klassiske fysiks determinisme.

En sammenligning, af hvordan kvanteteori og klassisk teori beskriver impulsmoment for partikelpar, belyser den vigtige forskel mellem de to synspunkter. I begge teorier gælder det, at hvis et system af to partikler har et totalt impulsmoment på nul, så er de to partiklers impulsmoment lige store og modsatte. Hvis komponenterne af impulsmoment måles langs den samme retning, er de to værdier numerisk ens, en positiv og den anden negativ. Hvis en komponent måles, kan den anden således forudsiges. Den afgørende forskel mellem de to teorier er, at i klassisk fysik antages det undersøgte system at have besiddet den målte mængde på forhånd. Målingen forstyrrer ikke systemet; den afslører kun den forud eksisterende tilstand. Man kan bemærke, at hvis en partikel i virkeligheden besad komponenter af impulsmoment før målingen, ville sådanne mængder udgøre skjulte variable.

Figur 6: Eksperiment til bestemmelse af korrelationen i målte impulsmoment værdier for et par protoner med nul totalt impulsmoment. De to protoner er i begyndelsen ved punkt 0 og bevæger sig i modsatte retninger mod de to magneter.

Opfører naturen sig, som kvantemekanikken forudsiger? Svaret kommer fra måling af komponenter af impulsmoment for de to protoner langs forskellige retninger med en vinkel q mellem dem. En måling på en proton kan kun give resultatet +/2 eller -/2. Eksperimentet består i at måle korrelationer mellem plus og minus værdierne for par af protoner med en fast værdi for q og så gentage målingerne for forskellige værdier af q , som i Figur 6. Tolkningen af resultaterne hviler på en vigtig læresætning af fysikeren John Stewart Bell. Bell begyndte med at antage eksistensen af en form for skjulte variable med en værdi, der ville bestemme, om det målte impulsmoment giver et plus eller minus resultat. Han antog yderligere lokalitet – nemlig, at måling på en proton (dvs. valget af måleretningen) ikke kan påvirke resultatet af målingen på den anden proton. Begge disse antagelser stemmer overens med klassiske, fornuftige ideer. Så viste han helt generelt, at disse to antagelser fører til et bestemt forhold, nu kendt som Bells ulighed, for de ovennævnte korrelationsværdier. Der er blevet udført eksperimenter i adskillige laboratorier med fotoner i stedet for protoner (analysen er den samme) og resultaterne viser temmelig afgørende, at Bells ulighed overtrædes. Det vil sige, at de observerede resultater stemmer med kvantemekanikkens og ikke kan forklares med en skjult variabel (eller deterministisk) teori, baseret på begrebet lokalitet. Man tvinges til at konkludere, at de to protoner er et korreleret par og at en måling på den ene påvirker begges tilstand, ligegyldigt hvor langt de er fra hinanden. Dette kan slå en som højst mærkeligt, men sådan er måden, som naturen ser ud til at være på.

Man kan bemærke, at virkningen på tilstanden af proton 2 efter en måling på proton 1 menes at være øjeblikkelig; virkningen sker, før et lyssignal, startet af målingshændelsen ved proton 1, når proton 2. Alain Aspect og hans medarbejdere i Paris demonstrerede dette resultat i 1982 med et opfindsomt instrument, i hvilket korrelationen mellem de to impulsmomenter blev målt indenfor et meget kort tidsinterval af en højfrekvens kontaktanordning. Intervallet var mindre end den tid, det tager for et lyssignal at bevæge sig fra en partikel til den anden på de to målepositioner. Einsteins specielle relativitetsteori erklærer, at intet budskab kan bevæge sig med en større hastighed end lysets. Der er således ingen måde, hvorpå information vedrørende målingens retning på den første proton kunne nå den anden proton, før målingen blev lavet på den.

Måling i kvantemekanik

Måden, som kvantemekanik behandler måleprocessen på, har forårsaget betragtelig debat. Schrödingers tidsafhængige bølgeligning (ligning [8]) er en eksakt opskrift til at bestemme måden, hvorpå bølgefunktionen varierer med tiden for et givet fysisk system i et givet fysisk miljø. Ifølge Schrödinger ligningen varierer bølgefunktionen på en strengt deterministisk måde. På den anden side ændrer en måling i den aksiomatiske indfaldsvinkel til kvantemekanik beskrevet ovenfor bølgefunktionen brat og usammenhængende. Før målingen laves er bølgefunktionen y en blanding af y'er som vist i ligning (10). Målingen ændrer y fra en blanding af y'er til en enkelt y. Denne ændring, som forårsages af målingen, kaldes bølgefunktionens kollaps eller reduktion. Kollapsen er en usammenhængende ændring af y; den kan heller ikke forudsiges, fordi man begynder med den samme y repræsenteret af den højre side af ligning (10), men slutresultatet kan være enhver af de individuelle y'er.

Schrödinger ligningen, som giver en jævn og forudsigelig variation af y, gælder mellem målingerne. Selve måleprocessen kan imidlertid ikke beskrives af Schrödinger ligningen; den er på en eller anden måde en adskilt ting. Dette forekommer utilfredsstillende, for så vidt en måling er en fysisk proces og burde være et emne for Schrödinger ligningen ligesom enhver anden fysisk proces.

Det vanskelige er forbundet med den kendsgerning, at kvantemekanikken gælder for mikroskopiske systemer, der indeholder en (eller nogle få) elektroner, protoner eller fotoner. Målinger laves imidlertid med storskala objekter (dvs. detektorer, forstærkere og måleinstrumenter) i den makroskopiske verden, som adlyder den klassiske fysiks love. Således er en anden måde at formulere spørgsmålet, om hvad der sker i en måling, at spørge, hvordan den mikroskopiske kvanteverden forholder sig til og vekselvirker med den makroskopiske, klassiske verden. Mere snævert kan man spørge hvordan og på hvilket punkt i måleprocessen kollapser bølgefunktionen? Indtil videre er der ingen svar på disse spørgsmål, skønt der er adskillige ideer.

En indfaldsvinkel understreger en bevidst observatørs rolle i måleprocessen og foreslår, at bølgefunktionen kollapser når observatøren læser måleinstrumentet. At bringe det bevidste sind ind i måleproblemet forekommer imidlertid at rejse flere spørgsmål end det besvarer.

Som diskuteret ovenfor er Københavnertolkningen i det væsentlige pragmatisk. Den skelner mellem mikroskopiske kvantesystemer og makroskopiske måleinstrumenter. Startobjektet eller begivenheden – dvs., passagen af en elektron, foton eller et atom – udløser, at et klassisk måleapparat giver et udslag; et sted langs kæden af begivenheder bliver resultatet af målingen fast (dvs., bølgefunktionen kollapser). Dette besvarer ikke det grundlæggende spørgsmål, men siger, effektivt, at man ikke skal bekymre sig om det. Dette er sandsynligvis de fleste udøvende fysikeres synspunkt.

En tredje ide bemærker, at en vigtig egenskab ved måleprocessen er irreversibilitet. Dette er i modsætning til bølgefunktionens opførsel, når den varierer ifølge Schrödinger ligningen; i princippet kan enhver sådan variation i bølgefunktionen vendes om med et passende eksperimentelt arrangement. Men når et klassisk måleinstrument en gang har givet et resultat, kan processen ikke vendes om. Det er muligt, at nøglen til måleprocessens natur ligger her et eller andet sted. Det er kendt, at Schrödinger ligningen kun gælder for relativt enkle systemer. Det er en enorm ekstrapolation at antage, at den samme ligning gælder for et klassisk måleapparats store og komplekse system. Det kan være, at den passende ligning for et sådant system har egenskaber, der frembringer irreversible virkninger (dvs., kollaps af bølgefunktionen), som adskiller sig i type fra dem i et enkelt system.

Man kan også nævne den såkaldte mangeverdener tolkning, foreslået af Hugh Everett III i 1957, som foreslår, at når en måling laves for et system, i hvilket bølgefunktionen er en blanding af tilstande, forgrener universet sig til et antal universer, der ikke vekselvirker. Hvert af de mulige resultater af målingen sker, men i et forskelligt univers. Hvis S_x = ½ er resultatet af en Stern-Gerlach måling på et sølvatom (se ovenfor: Uforenelige observable), så er der et andet univers identisk med vores på enhver måde (inklusive kloner af folk) undtaget, at resultatet af målingen er S_x = -½. Skønt denne fantasifulde model løser nogle måleproblemer, har den få tilhængere blandt fysikere.

Da de forskellige måder at betragte måleprocessen på fører til de samme eksperimentelle konsekvenser, kan forsøg på at skelne mellem dem på videnskabeligt grundlag være frugtesløse. Den ene eller den anden kan foretrækkes på grund af plausibilitet, elegance eller økonomi med hypoteserne, men det er et spørgsmål om individuel smag. Om der en dag vil dukke en tilfredsstillende kvanteteori for måling op, som adskiller sig fra de andre ved sine verificerbare forudsigelser, er et åbent spørgsmål.

Anvendelser for kvantemekanik

Som nævnt har kvantemekanikken haft enorm succes med at forklare mikroskopiske fænomener i alle fysikkens grene. De tre fænomener, der beskrives i dette afsnit, er eksempler, som demonstrerer teoriens kvintessens.

Henfald af K⁰ mesonen

K⁰ mesonen, som blev opdaget i 1953, frembringes i højenergi kollisioner mellem kerner og andre partikler. Den har nul elektrisk ladning og dens masse er omkring det halve af protonens masse. Den er ustabil og når den en gang er dannet, henfalder den hurtigt til enten 2 eller 3 pi-mesoner. K⁰s levetid er omkring 10^-10 sekund.

Til trods for den kendsgerning, at K⁰ mesonen er uladet, forudsiger kvanteteorien eksistensen af en antipartikel med samme masse, henfaldsprodukter og middellevetid; antipartiklen betegnes K⁰. I de tidlige 1950'ere satte adskillige fysikere spørgsmålstegn ved retfærdiggørelsen af at postulere eksistensen af to partikler med sådanne ens egenskaber. I 1955 gjorde Murray Gell-Mann og Abraham Pais imidlertid en interessant forudsigelse om K⁰ mesonens henfald. Deres fornuftslutning giver en glimrende belysning af det kvantemekaniske aksiom, at bølgefunktionen y kan være en overlejring af tilstande; i dette tilfælde er der to tilstande, selve K⁰ og K⁰ mesonerne.

En K⁰ meson kan formelt repræsenteres ved at skrive bølgefunktionen som y = K⁰; på samme måde repræsenterer y = K⁰ en K⁰ meson, Fra de to tilstande, K⁰ og K⁰, konstrueres de følgende to nye tilstande:

Fra disse to ligninger følger det, at

Grunden til at definere de to tilstande K₁ og K₂ er, at når K⁰ henfalder, gør den det ifølge kvanteteorien ikke som en isoleret partikel; i stedet kombinerer den med sin antipartikel og danner tilstandene K₁ og K₂. Tilstanden K₁ henfalder til to pi-mesoner med en meget kort levetid (omkring 10^-10 sekund), mens K₂ henfalder til tre pi-mesoner med en længere levetid (omkring 10^-7 sekund).

De fysiske konsekvenser af disse resultater kan demonstreres i det følgende eksperiment. K⁰ partikler produceres i en kernereaktion ved punkt A (Figur 7). De bevæger sig til højre i figuren og begyndr at henfalde. Ved punkt A er bølgefunktionen y = K⁰ , der ud fra ligning (16) kan udtrykkes som summen af K₁ og K₂. Når partiklerne bevæger sig til højre, begynder K₁ tilstanden at henfalde hurtigt. Hvis partiklerne når punkt B på omkring 10^-8 sekund, er næsten hele K₁ komponeneten henfaldet, skønt næsten intet af K₂ komponenten har. Således er strålen i punkt B ændret fra næsten ren K⁰ til næsten ren K₂, hvilken ligning (15) viser, er en lige blanding af K⁰ og K⁰. Med andre ord optræder K⁰ partikler kun i strålen, simpelthen fordi K₁ og K₂ henfalder med forskellig hastighed. Ved punkt B går strålen ind i en blok absorberende materiale. Både K⁰ og K⁰ absorberes af kernerne i blokken, men K⁰ absorberes stærkere. Resultatet er, at selv om strålen er en lige blanding af K⁰ og K⁰, når den går ind i absorberen, er den næsten ren K⁰, når den går ud ved punkt C. Således begynder og slutter strålen som K⁰.

Figur 7: Henfald af K⁰ mesonen

Gell-Mann og Pais forudsagde alt dette og eksperimenter bekræftede det efterfølgende. De eksperimentelle observationer er, at henfaldsprodukterne primært er to pi-mesoner med en kort henfaldstid nær A, tre pi-mesoner med længere henfaldstider nær B og to pi-mesoner igen nær C. (Denne redegørelse overdriver ændringerne i K₁ og K₂ komponenterne mellem A og B og i K⁰ og K⁰ komponenterne mellem B og C; argumentet er imidlertid uændret.) Fænomenet, at frembringe K⁰ og gendanne K₁ henfaldet, er rent kvante-. Det hviler på kvanteaksiomet om tilstandes overlejring og har intet klassisk modstykke.

Cæsium ur

Cæsium uret er den nøjagtigste type ur, der er udviklet indtil nu. Dette apparat gør brug af overgange mellem cæsiumkernens spintilstande og producerer en frekvens, der er så regelmæssig, at den er blevet antaget til at etablere tidsstandarden.

Som elektroner har mange atomkerner spin. Disse kerners spin producerer et sæt små virkninger i spektre, som kaldes hyperfin struktur. (Virkningerne er små, for skønt en spindende kernes impulsmoment er af samme størrelse som en elektrons, er dens magnetiske impuls, som styrer atomniveauernes energier, relativt lille.) Cæsiumatomets kerne har spin kvantetal 7/2. Det totale impulsmoment af cæsiumatomets laveste energitilstande fås ved at kombinere kernens spin impulsmomnt med det fra den enkelte valenselektron i atomet. (Kun valenselektronens bidrager til impulsmomentet, fordi alle de andre elektroners totale impulsmoment er nul. En anden forenklende egenskab er, at grundtilstandene har nul orbital impuls, så kun spin impulsmoment skal tages i betragtning.) Når kernespin medregnes karakteriseres atomets totale impulsmoment af et kvantetal, som konventionelt betegnes F, som for Cæsium er 4 eller 3. Disse værdier kommer fra spinværdien 7/2 for kernen og ½ for elektronen. Hvis man forestiller sig kernen og elektronen som spindende toppe svarer værdien F = 4, (7/2 + ½), til at toppene spinder i samme forstand og F = 3, (7/2 – ½), svarer til spin i modsat forstand. Energiforskellen DE mellem de to tilstande med de to F værdier er en præcis mængde. Hvis elektromagnetisk stråling med frekvensen v₀, hvor

tilføres et system af cæsiumatomer, vil der ske overgange mellem de to tilstande. Et apparat, der kan detektere overgangshændelserne, giver således en ekstremt præcis frekvensstandard. Dette er cæsium urets princip.

Apparaturet er vist skematisk i Figur 8. En stråle af cæsiumatomer dukker frem fra en ovn ved en temperatur på omkring 100C. Atomerne passerer gennem en uensartet magnet A, som afbøjer atomerne i tilstand F = 4 nedad og dem i tilstand F = 3 ligeså meget opad. Atomerne passerer gennem spalte S og fortsætter ind i en anden uensartet magnet B. Magnet B er indrettet, så den afbøjer atomer med en uændret tilstand i samme retning, som magnet A afbøjede dem. Atomerne følger banerne markeret med punkterede linier på figuren og går tabt for strålen. Hvis imidlertid et vekslende elektromagnetisk felt med frekvensen v₀ tilføres strålen mens den går igennem centerområdet C, vil der ske overgange mellem tilstande. Nogle atomer i tilstand F = 4 vil skifte til F = 3 og omvendt. For sådanne atomer vendes afbøjningerne i magnet B om. Atomerne følger de fuldt optrukne linier i diagrammet og rammer en tungsten tråd, som giver elektriske signaler i forhold til antallet af Cæsiumatomer, der rammer tråden. Når frekvensen v af det vekslende felt varieres, har signalet et skarpt maksimum for v = v₀. Apparaturets længde fra ovnen til tungsten detektoren er omkring en meter.

Figur 8: Cæsium ur.

Figur 9: Variation af energien med magnetfeltstyrke for F = 4 og

F = 3 tilstandene i cæsium-133.

Hver atomar tilstand karakteriseres ikke kun af kvantetallet F men også af et andet kvantetal m_F. For F = 4 kan m_F indtage heltalsværdier fra 4 til -4. I fravær af et magnetfelt har disse tilstande samme energi. Et magnetfelt forårsager imidlertid en lille ændring i energien proportionalt med feltets styrke og m_F værdien. På samme måde ændrer et magnetfelt F = 3 tilstandenes energi ifølge m_F værdien, som i dette tilfælde kan variere fra 3 til -3. Energiændringerne er vist i Figur 9. I cæsium uret overlejres et svagt, konstant magnetfelt på det vekslende elektromagnetiske felt i område C. Teorien viser, at det vekslende felt kun kan frembringe en overgang mellem par af tilstande med m_F værdier, der er de samme eller er forskellige med en enhed. Som det imidlertid fremgår af figuren er de eneste overgange, der finder sted ved frekvensen v₀, dem mellem de to tilstande med m_F = 0. Apparaturet er så følsomt, at det kan let kan skelne mellem sådanne overgange og alle de andre.

Hvis oscillatorens frekvens driver lidt, så den ikke svarer helt til v₀, falder detektor output. Ændringen i signalstyrke producerer et signal til oscillatoren om at bringe frekvensen tilbage til den korrekte værdi. Dette tilbagekoblingssystem holder oscillatorfrekvensen automatisk låst fast på v₀.

Cæsium uret er yderst stabilt. Oscillatorens frekvens forbliver konstant indenfor omkring en del af 10¹³. Af denne grund er apparatet blevet brugt til at omdefinere sekundet. Denne grundlæggende tidsenhed i SI systemet er defineret som værende lig med 9.192.631.770 svingninger i strålingen svarende til overgangen mellem niveauerne F = 4, m_F = 0 og F = 3, m_F = 0 af cæsium-133 atomets grundtilstand. Før 1964 blev sekundet defineret ved hjælp af Jordens bevægelse. Den er imidlertid ikke nær så stabil som cæsium uret. Specifikt er brøkdelen af variationen i Jordens rotationsperiode nogle få hundrede gange større end i cæsium urets frekvens.

En kvante spændings standard

Kvanteteori er blvet brugt til at etablere en spændingsstandard og denne standard har vist sig at være ekstraoridinært nøjagtig og konsistent fra laboratorium til laboratorium.

Hvis to lag superledende materiale er adskilt af en tynd isolerende barriere, kan en superstrøm (dvs., en strøm af parrede elektroner) passere fra den ene superleder til den anden. Dette er endnu et eksempel på tunnelprocessen beskrevet tidligere. Adskillige virkninger baseret på dette fænomen blev forudsagt i 1962 af den britiske fysiker Brian D. Josephson. De blev hurtigt demonstreret eksperimentelt og kaldes nu Josephson virkninger.

Hvis en DC (direct-current, jævnstrøm) spænding V påføres over de to superledere, ændrer et elektronpars energi sig med en mængde 2eV, idet det krydser forbindelsen. Som resultat svinger superstrømmen med frekvensen v givet af Planck forholdet (E = hv). Således,

Denne svingende opførsel hos superstrømmen kaldes AC (alternating-current, vekselstrøm) Josephson virkning. Måling af V og v tillader en direkte bekræftelse af Planck forholdet. Skønt den svingende superstrøm er blevet detekteret direkte, er den yderst svag. En mere følsom måde at undersøge ligning (19) på er, at studere virkninger, der opstår fra mikrobølgers vekselvirkning med superstrømmen.

Adskillige, omhyggeligt udførte, eksperimenter har bekræftet ligning (19) med en så høj grad af præcision, at den er blevet brugt til at bestemme værdien af 2e/h. Denne værdi kan faktisk bestemmes mere nøjagtigt med AC Josephson virkningen end med nogen anden metode. Resultatet er så pålideligt, at laboratorier nu anvender AC Josephson virkningen til at sætte en spændingsstandard. Det numeriske forhold mellem V og v er

På denne måde giver måling af en frekvens, som kan udføres med stor præcision, spændingens værdi. Før Josephson metoden blev brugt, var spændingsstandarden i meteorologiske laboratorier, som beskæftigede sig med vedligeholdelsen af fysiske enheder, baseret på Weston cadmium celler med høj stabilitet. Disse celler har imidlertid en tendens til at drive og forårsagede på den måde inkonsistenser mellem standarder i forskellige laboratorier. Josephson metoden har givet en standard, der giver overensstemmelse indenfor nogle få dele af 10⁸ for målinger lavet på forskellige tidspunkter og i forskellige laboratorier.

Eksperimenterne beskrevet i de forudgående to afsnit er kun to eksempler på målinger af høj præcision i fysik. Værdierne af de fundamentale konstanter, som c, h, e, og m_e , bestemmes ud fra mange forskellige eksperimenter baseret på kvantefænomener. Resultaterne er så konsistente, at konstanternes værdier i de fleste tilfælde menes at være bestemt bedre end en del af 10⁶. Det kan godt være, at fysikerne ikke ved, hvad de laver, når de udfører en måling, men de gør det ekstremt godt.

Gordon Leslie Squires

Yderligere læsning

Der er skrevet adskillige bøger om kvantemekanikkens historiske udvikling; bemærkelsesværdige er især Oliver Darrigol, From C-Numbers to Q-Numbers: The Classical Analogy in the History of Quantum Theory (1992); og Max Jammer, The Conceptual Developement of Quantum Mechanics, 2nd ed. (1989).

Omhyggelige og filosofiske studier af mange af kvanteteoriens tidlige arkitekters arbejde kan findes i Thomas S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894-1912 (1978, genoptrykt 1987); Bruce R. Wheaton, The Tiger and the Shark: Empirical Roots of Wave-Particle Dualism (1983, udgivet igen 1991); Abraham Pais, ”Subtle is the Lord...”; The Science and Life of Albert Einstein (1982), og Niels Bohr’s Times: In Physics, Philosophy, and Polity (1991); Arthur Fine, The Shaky Game: Einstein, Realism, and the Quantum Theory, 2nd ed. (1996); Max Dresden, H.A. Kramers: Between Tradition and Revolution (1987); David C. Cassidy, Uncertainty: The Life and Science of Werner Heisenberg (1992); Walter Moore, Schrödinger: Life and Thought (1989); and Dugald Murdoch, Niels Bohr’s Philosophy of Physics (1987, genudgivet 1990). Kvanteteoriens fødsel i perioden 1900-26, primært i tyske universitetskredse, bringes i god sammenhæng af Christa Jungnickel og Russell McCormach, Intellectual Mastery of Nature: Theoretical Physics from Ohm to Einstein, 2 vol. (1986, genudgivet 1990). Overgangen fra ikkerelativistisk kvantemekanik til renormaliseret kvanteelektrodynamik i perioden 1926-49 spores af Silvan S. Schweber, QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger and Tomonaga (1994).

Der findes et antal glimrende tekster om kvantemekanik på gymnasie- og kandidatniveau. Det følgende er et udvalg begyndende med det mere elementære: A.P. French og Edwin F. Taylor, An Introduction to Quantum Physics (1978); Alastair I.M. Rae, Quantum Mechanics, 2nd ed. (1986); Richard L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, 2nd ed. (1992); Eugen Merzbacher, Quantum Mechanics, 2nd ed. (1970); J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, rev. Ed. (1994); og Anthony Sudbery, Quantum Mechanics and the Particles of Nature: An Outline for Mathematicians (1986), temmelig matematisk men indeholder nyttige redegørelser og opsummeringer af kvantemetafysik. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton og Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics, vol. 3, Quantum Mechanics (1965), er et personligt og stimulerende kig på emnet. En god indføring i kvanteelektrodynamik er Richard P. Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter (1985).

J.C. Polkinghorne, The Quantum World (1984); John Gribbin, In Search of Schrödinger’s Cat: Quantum Physics and Reality (1984); Heinz R. Pagels, The Cosmic Code: Quantum Physics as the Language of Nature (1982); og David Z. Albert, Quantum Mechanics and Experience (1992), er alle yderst læsbare og instruktive bøger skrevet på et populært niveau. Bernard D’Espagnat, Conceptual Foundations of Quantum Mechanics, 2nd ed. (1976), er en teknisk redegørelse for de involverede fundamentale begrebsmæssige problemer. Forhandlinger ved en konference, Newq Techniques and Ideas in Quantum Measurement Theory, red. Af Daniel M. Greenberger (1986), indeholder et vidt favnende sæt papirer, der behandler både de eksperimentelle og teoretiske sider af måleproblemet.

Anvendelser fremlægges af H. Haken og H.C. Wolf, Atomic and Quantum Physics: An Introduction to the Fundamentals of Experiment and Theory, 2nd udvidede ed. (1987; oprindeligt udgivet i Tyskland, 2nd rev. og udvidede ed., 1983); Emilio Segré, Nuclei and Partikels: An Introduction to Nuclear and Subnuclear Physics, 2nd rev. Og udvidede ed. (1977, genudgivet 1980); Donald H. Perkins, Introduction to High Energy Physics, 3rd ed. (1987); Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 6th ed. (1986); og Rodney Loudon, The Quantum Theory of Light, 2nd ed. (1983). B.W. Petley, The Fundamental Physical Constants and the Frontier of Measurement (1985), giver en god redegørelse for nuværende viden om de fundamentale konstanter.

Gordon Leslie Squires

Ed.