Informationsspredning i kvantekosmologi og fremkomsten af klassisk rumtid

                                               Jonathan J. Halliwell*

 

                                                               

 

Indhold:

Forord
1. Indledning
2. Fremkomsten af klassisk adfærd i kvantemekanik
3. Kvantekosmologi
4. Interferensen mellem ekspanderende og kollapsende universer
5. Afhængighed af randbetingelser
6. Har hele Universet virkelig intet miljø?
Referencer

 

Den matematiske formalisme vises i transparente gifs. Font i gifs er Verdana og Symbol.

 

 

Forord

Vi diskuterer måden, hvorpå gravitationsfeltet bliver klassisk i kvantekosmologi - kvantegravitation anvendt på lukkede kosmologier. Vi argumenterer for, at der er mindst to trin involveret. For det første skal gravitationsfeltets kvantetilstand være stærkt toppet omkring et sæt klassiske konfigurationer. For det andet skal disse konfigurationer have ubetydelig interferens med hinanden. Dette andet trin involverer adskillelse (decoherence) - destruktion af de ikke-diagonale elementer i tæthedsmatricen, der repræsenterer interferens. Dette kan opnås ved at sprede information om korrelationer ind i et miljø. Skønt hele universet, pr. definition, ikke har noget miljø, kan det opdeles i undersystemer og et eller flere undersystemer kan betragtes som miljø for de andre. Især stof modaliteter kan bruges som et miljø for gravitationsfeltet. Vi viser, i en enkel ensartet isotropisk model, at universets tæthedsmatrix adskilles af et uensartet masseløst skalarfelts langbølge modaliteter. Vi viser også, ved at bruge adskillelsesargumenter, at WKB komponenten[* o.a.] af universets bølgefunktion, som repræsenterer ekspanderende universer, har ubetydelig interferens med den kollapsende komponent. Dette retfærdiggør den sædvanlige antagelse om, at de kan behandles adskilt. Vi diskuterer kosmologiske randbetingelsers rolle. Det faktum, at vi i dag observerer klassisk rumtid, forekommer at være altafhængigt af dem.

1. Indledning

Ideen med dette dokument er, at diskutere nyligt arbejde med anvendelsen af et sæt ideer, der normalt anvendes i kvantemåleteori, på kvantekosmologi. Det spørgsmål jeg vil beskæftige mig med er følgende: Hvordan bliver gravitationsfeltet klassisk i en kvanteteori om gravitation, som den bruges på lukkede kosmologiske systemer, dvs. i kvantekosmologi? Det mulige svar på dette spørgsmål, som jeg vil diskutere, involverer adskillelsen af universets tæthedsmatrix. Dette involverer nødvendigvis spredningen af information og får dermed berøring med dette mødes informationstema. Men før vi går videre til kvantekosmologi, begynder vi med at diskutere fremkomsten af klassisk opførsel i nogle mere jordbundne kvantesystemer.
    Det er en unægtelig kendsgerning om vor erfaring, at verden omkring os beskrives af klassiske love med en meget høj grad af nøjagtighed. I klassisk mekanik kan et system tilskrives en veldefineret tilstand og dets udvikling beskrives på en deterministisk måde - givet systemets tilstand på et bestemt tidspunkt, kan man forudsige dets tilstand på et senere tidspunkt med vished. Og alligevel mener man, at verdens natur grundlæggende er kvantemekanisk. Fænomener i alle størrelsesforhold op til og inkluderende hele universet antages at kunne beskrives af kvantemekanik. Fordi superpositioner af interfererende tilstande er tilladt i kvantemekanik, er det her alment ikke muligt at sige, at et system er i en bestemt tilstand. Desuden er evolution ikke deterministisk men probabilistisk - givet systemets tilstand på et særligt tidspunkt, kan man kun beregne sandsynligheden for at finde det i en anden tilstand på et senere tidspunkt.
    Hvis kvanteteori skal bringes sammen med vor klassiske erfaring, er det klart essentielt at forstå i hvilken forstand, og i hvilken udstrækning, kvantemekanikken reproducerer den klassiske mekaniks virkninger. Dette er et emne, som indtager særlig betydning i målingens kvanteteori48. Dér beskriver man måleapparaturet i kvantemekaniske størrelser; dog opfører alle sådanne apparaturer sig på en distinkt klassisk måde når eksperimentatorens øje aflæser meteret.
    Kosmologien om det tidlige univers giver os en anden klasse af situationer, hvori fremkomsten af klassisk opførsel fra kvantemekanik er en proces af særlig interesse. I det inflatoriske univers' scenario, f.eks., har de klassiske tæthedsfluktuationer, der er nødvendige for galaksedannelse, antagelig deres oprindelse i et skalært felts kvantefluktuationer, som blev enormt forstørret af inflationen10,21. Dette er, i en vis forstand, et ekstremt eksempel på en kvantemåleproces på den måde, at universets struktur i stor skala, som vi ser i dag, er et meter, der permanent har registreret det skalære felts kvantetilstand i tidlige tider. Måden hvorpå denne kvante-til-klassisk overgang foregår, er blevet diskuteret af talrige forfattere11,12,28,38,39. En mere grundlæggende situation af interesse, og den vi primært beskæftiger os med, er kvantekosmologi i hvilken man forsøger at anvende kvantemekanik på lukkede kosmologier. Da dette indebærer at kvantisere gravitationsfeltet, burde et af målene med dette foretagende helt afgjort være, at forudsige de betingelser under hvilke gravitationsfeltet kan betragtes som klassisk. Og på et mere beskedent niveau kan man spørge hvorfor dagligdags genstande som borde og stole opfører sig klassisk, når de i virkeligheden beskrives af kvantemekanik.
    Det synspunkt, som vi vil tage er: der er mindst to krav, som skal tilfredsstilles før et system kan betragtes som klassisk. Det første krav er, at systemets bølgefunktion, eller en fordeling der er konstrueret ud fra bølgefunktionen, skal være stærkt toppet omkring en klassisk konfiguration, eller et sæt af klassiske konfigurationer. Dette krav ville for eksempel være tilfredsstillet, hvis bølgefunktionen er en kohærent tilstand, eller en superposition af kohærente tilstande. Selv om dette krav betyder, at kvantetilstanden kan være toppet omkring distinkte makroskopiske konfigurationer, udelukker det imidlertid ikke muligheden for interferens mellem dem. Derfor er det andet krav, at interferensen mellem distinkte makroskopiske tilstande er yderst lille. Dette indebærer ideen om adskillelse (dekohærens) - destruktion af de ikke-diagonale elementer i tæthedsmatricen, der repræsenterer interferens.
    I sektion 2 vil vi gøre disse ideer mere præcise i et enkelt eksempel fra almindelig kvantemekanik. I de følgende sektioner vil vi fortsætte med at diskutere hvordan disse ideer anvendes på kvantekosmologi. En meget længere, men lidt anderledes redegørelse for dette arbejde kan findes i J.J. Halliwell15.

2. Fremkomsten af klassisk adfærd i kvantemekanik

De er gaussiske bølgepakker, som er stærkt toppede omkring de klassiske baner xn(t). Man kunne derfor være fristet til at sige, at systemet er blevet klassisk, og at partiklen vil følge en af banerne xn(t) med sandsynligheden | cn |2. Problemet er imidlertid, at hvis bølgepakkerne mødes på et trin i fremtiden, så ville de interferere konstruktivt. Derfor kan man ikke sige, at partiklen følger en bestemt bane.
    Problemet belyses når man nedskriver den rene tilstands tætheds matrix, som svarer til tilstanden (2.1). Den er

Problemet involverer ikke-nul, ikke-diagonale elementer, som repræsenterer interferens mellem forskellige baner. Vi søger imidlertid at fastholde, at systemet beskrives af et klassisk ensemble, af den type man træffer på i statistisk mekanik, hvori man finder, at partiklen følger banen xn(t) med sandsynligheden | cn |2. En sådan situation ville kun kunne beskrives af den blandede tilstands matrix

Denne adskiller sig fra Lign. (2.3) ved tilstedeværelsen af ikke-diagonale elementer. Det er kun når disse elementer kan negligeres, at vi kan sige, at partiklen følger en bestemt bane.
    Under enheds Schrödinger udvikling findes der ingen måde hvorpå den rene tilstands matrix (2.3) vil udvikle sig til den blandede tilstandsmatrix (2.4). Hvordan kan interferenselementerne så blive undertrykt? Løsningen af denne tilsyneladende vanskelighed kommer fra erkendelsen af, at intet makroskopisk system realistisk kan betragtes som lukket og isoleret fra resten af verden omkring det. Laboratoriets måleapparatur vekselvirker med de omgivende luftmolekyler, selv intergalaktiske gasmolekyler er ikke isolerede, fordi de vekselvirker med mikrobølgebaggrunden. Lad os referere til resten af verden som "miljøet", E. Så kan man argumentere for, at det er den uundgåelige vekselvirkning med miljøet, som fører til en fortsat "måling" eller "overvågning" af et makroskopisk system og at det er dette, der forårsager, at interferenselementerne bliver meget små. Dette er adskillelse. [Se IV.c. Adskillende Historier o.a.].

 

Man kan nu sige, at miljøet har forårsaget, at tæthedsmatricen har adskilt - det har tilladt det interfererende sæt af makroskopiske konfigurationer at udskille sig til et ikke-interfererende ensemble af tilstande, som anvendt i klassisk statistisk mekanik. Eller med andre ord, miljøet har "kollapset bølgefunktionen" af systemet. Eller endnu en anden formulering er at sige, at miljøet "påfører en superselektions regel" som forbyder at superpositioner af distinkte makroskopiske tilstande bliver observeret. Bemærk at tabet af information er et vigtigt aspekt i processen. Klassisk adfærd fremkommer således kun når information om korrelationer spredes ind i miljøet.

Denne almene samling ideer er blevet diskuteret af mange, inkluderende Gell-Mann, Hartle og Telegdi5, Griffiths8,9, Joos og Zeh25, Omnès35, Peres37, Unruh og Zurek40, Wigner49, Zeh50, og Zurek53,54,55,56.

3. Kvantekosmologi

Vi anvender nu ideerne, som blev introduceret i det foregående afsnit på kvantekosmologi. Dette emne blev vakt til live i 1960'erne med de grundlæggende arbejder af DeWitt2, Misner30,31,32,33 og Wheeler46,47. Fornyligt er det blevet genoplivet primært af Hartle og Hawking20 og af Vilenkin41,42,43,44,45. Nogle oversigtsartikler er Hartles16,17 og Halliwells14.


[1] Det er faktisk vanskeligt at konstruere analogen til kohærente tilstande i kvantekosmologi. Se imidlertid, Kiefer27.

Så det første krav til fremkomsten af klassisk adfærd er opfyldt af løsningen (3.2) - bølgefunktionen er toppet omkring et sæt klassiske løsninger. Men hvad med det andet krav, adskillelse? Lad os anvende ideerne, der blev introduceret i de foregående afsnit og indføre et miljø, som overvåger metrikken kontinuert. Man møder straks en vanskelighed. Hele universet har intet miljø. Det er ikke et åbent system, men et lukket: faktisk er det det eneste ægte lukkede system vi kender. Pointen er imidlertid, at man aldrig er interesseret i, at måle mere end en lille brøkdel af de potentielt observable egenskaber ved universet. Derfor kan man nøjes med at betragte nogle af de variabler, der beskriver universet, som det observerede system og resten som miljøet. Miljøet summeres væk i tæthedsmatricen. På denne måde kan nogle af de variabler, der beskriver universet - men helt bestemt ikke alle - blive klassiske.

Hvilke variabler antager vi som miljøet? Alment er der intet indlysende naturligt valg. Her er vi imidlertid interesseret i at forstå, hvordan gravitationsfeltet bliver klassisk, så måske er det passende at betragte stoftilstandene som et miljø for metrikken. Med dette valg er den reducerede tæthedsmatrix, som svarer til bølgefunktionen (3.2):

4. Interferensen mellem ekspanderende og kollapsende universer

[2]Fordi der ikke er nogen udtrykkelig tidsmærkning, kan man ikke sige hvilken af de to løsninger der svarer til kollapsende og hvilke der svarer til ekspanderende universer - man kan kun gøre relative erklæringer. Jeg er taknemmelig for, at H.D. Zeh har understreget dette for mig.

5. Afhængighed af randbetingelser

Vi har set, at i kvantekosmologi kan rumtiden blive klassisk når (i) bølgefunktionen er toppet omkring sæt af klassiske konfigurationer og (ii) interferensen mellem disse konfigurationer destrueres gennem vekselvirkning med stofvariabler. I hvilken udstrækning afhænger fremkomsten af klassisk adfærd af rand- eller startbetingelser? Randbetingelser kommer ind på to måder. Systemets bølgefunktion i et givet område kan være enten eksponentiel eller svingende(oscillatorisk), afhængig, i en vis udstrækning, af randbetingelserne. Det er kun når bølgefunktionen er svingende, at den er toppet omkring et sæt klassiske løsninger; således bestemmer randbetingelserne, hvorvidt bølgefunktionen er toppet omkring sæt af klassiske konfigurationer.

 

Disse betragtninger antyder at det faktum, at det nuværende univers beskrives så godt af klassiske love er en konsekvens af en lov om startbetingelserne, som det tidligere er blevet foreslået af Gell-Mann, Hartle og Telegdi5 og af Hartle18,19.

6. Har hele universet virkelig intet miljø?

I afsnit 3 blev det sagt, at hele universet ikke har noget miljø og at man af den grund er nødt til at dele det i undersystemer og betragte ét som miljø for resten. Dette er bestemt tilfældet i konventionel kvantekosmologi. Nylige udviklinger giver imidlertid dette emne nye perspektiver. I kvantekosmologi tænker man normalt på universets rumlige udstrækning som værende repræsenteret af en enkelt, forbundet tre-overflade. Det er imidlertid fornyligt blevet foreslået, at det også kan have et stort antal små ikke-forbundne komponenter, som man refererer til som "baby universer"1,6,7,22,23,24. I et euklidisk vejintegrale er disse baby universer forbundet til ophavs universet af ormehuller. Derfor har man et billede af et stort ophavsunivers i en fortyndet gas af babyuniverser. Den oprindelige motivation for at studere dette scenario er, at babyuniverserne fører til en effektiv modifikation af de grundlæggende koblingskonstanter, som muligvis fører til en forudsigelse af deres værdier. Det er imidlertid klart, at babyuniverserne også kunne være af værdi i forbindelse med det emne vi studerer her, nemlig fremkomsten af klassisk adfærd for makroskopiske systemer. En mulighed, der virker naturlig, er at bruge babyuniverserne som miljø til at adskille tæthedsmatricen. De første skridt i denne retning er taget af Ellis, Mohanty og Nanopoulos3. De anslog, at selv om babyuniverserne har ubetydelig virkning for enkelte partikler, adskiller de tæthedsmatrixen for et makroskopisk legeme med Avogadros antal partikler meget effektivt.

Referencer

1. Coleman, S. Nucl. Phys. B30 (1988):643
2. DeWitt, B. Phys. Rev. 160 (1967):1113
3. Ellis, J., S. Mohanty og D.V. Nanopoulos. Phys. Lett. 221B (1989):113
4. Fukuyama, T., og M. Morikawa Kyoto preprint KUNS (1988):936
5. Gell-Mann, M., J.B. Hartle og V. Telegdi. Work in progres, 1989.
6. Giddings, S. og A. Strominger. Nucl. Phys. B306 (1988):890
7. Giddings, S. og A. Strominger. Nucl. Phys. B307 (1988):854
8. Griffiths, R. J. Stat. Phys. 36 (1984):219
9. Griffiths, R. Am. J. Phys. 55 (1987):11
10. Guth, A.H. og S.Y. Pi. Phys. Rev. Lett. 49 (1982):1110
11. Guth, A.H. og S.Y. Pi. Phys. Rev. D32 (1985):1899
12. Halliwell, J.J. Phys. Lett. 185B (1987):341
13. Halliwell, J.J. Phys. Rev. D36 (1987):3626
14. Halliwell, J.J. Santa Barbara ITP preprint NSF-ITP-88-131, 1988. An extensive list of papers on quantum cosmology may be found in J.J. Halliwell, ITP preprint NSF-ITP-88-132, 1988.
15. Halliwell, J.J. Phys. Rev. D39 (1989):2912
16. Hartle, J.B. In High Energy Physics proceedings of the Yale Summer School, New Haven, Connecticut, edited by M.J. Bowick og F. Gursey. Singapore: World Scientific, 1985.
17. Hartle, J.B. In Gravitation in Astrophysics, Proceedings of the Cargese Advanced Summer Institute, Cargese, France, 1986.
18. Hartle, J.B. Phys. Rev. D37 (1988):2818
19. Hartle, J.B. Phys. Rev. D38 (1988):2985
20. Hartle, J.B. og S.W. Hawking. Phys. Rev. D28 (1983):2960
21. Hawking, S.W. Phys. Lett. 115B (1982):295
22. Hawking, S.W. Phys. Lett. 195B (1987):337
23. Hawking, S.W. Phys. Rev. D37 (1988):904
24. Hawking, S.W. og R. Laflamme. Phys. Lett. 209B (1988):39
25. Joos, E., og H.D. Zeh. Z. Phys.B., 59 (1985):223
26. Kiefer, C. Class. Quantum Grav., 4 (1987):1369
27. Kiefer, C. Phys. Rev. D38 (1988):1761
28. Lyth, D. Phys. Rev. D31 (1985):1931
29. Mellor, F., og I.G. Moss., Newcastle preprint, 1988.
30. Misner, C.W. Phys. Rev. 186 (1969):1319
31. Misner, C.W. Phys. Rev. Lett. 22 (1969):1071
32. Misner, C.W. In Relativity, edited by M. Carmeli, S. Fickler og L. Witten. San Fransisco: Plenum, 1970.
33. Misner, C.W. In Magic without Magic: John Archibald Wheeler, a Collection of Essays in Honor of his 60th Birthday, edited by J. Klauder. San Fransisco: Freeman, 1972.
34. Morikawa, M. Kyoto Preprint KUNS 923, 1988.
35. Omnès, R.J. Stat. Phys. 53 (1988):893, 933, 957.
36. Padmanabhan, T. Phys. Rev. D39 (1988):2924
37. Peres, A. Am. J. Phys. 48 (1980):931
38. Sakagami, M. Hiroshima Preprint RRK 87-5, 1987.
39. Sasaki, M. Prog. Theor. Phys., 76 (1986):1036
40. Unruh, W.G., og W.H. Zurek. Phys. Rev. D40 (1989):1034-1071
41. Vilenkin, A. Phys. Lett. 117B (1982):25
42. Vilenkin, A. Phys. Rev. D27 (1983):2848
43. Vilenkin, A. Phys. Rev. D30 (1984):509
44. Vilenkin, A. Nucl. Phys. B252 (1985):141
45. Vilenkin, A. Phys. Rev. D33 (1986):3560
46. Wheeler, J.A. In Relativity, Groups and Topology, Les Houches Lectures, edited by C. DeWitt og B. DeWitt. New York: Gordon and Breach, 1963.
47. Wheeler, J.A. In Batelles Recontres, edited by C. DeWitt and J.A. Wheeler. New York: Benjamin, 1968.
48. Wheeler, J.A., og W.H. Zurek. Quantum Theory and Measurement, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1983.
49. Wigner, E. In Quantum Optics, Experimental Gravitation and Measurement Theory, edited by P. Meystre and M.O. Scully. New York: Plenum, 1982.
50. Zeh, H.D. Found. Phys. 1 (1970):69
51. Zeh, H.D. Phys. Lett. A116 (1986):9
52. Zeh, H.D. Phys. Lett. A126 (1986):311
53. Zurek, W.H. Phys. Rev. D24 (1981):1516
54. Zurek, W.H. Phys. Rev. D26 (1982):1862
55. Zurek, W.H. In Frontiers of Nonequilibrium Statistical Physics, edited by G.T. Moore and M.O. Scully. New York: Plenum, 1986.
56. Zurek, W.H. In Proceedings of the Osgood Hill Conference on Conceptual Problems in Quantum Gravity, edited by A. Ashtekar and J. Stachel. Boston: Birkhauser, 1989.


* WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin): tilnærmet kvantiseringsmetode. Vedr. kvantisering se f.eks. "Geometry, Particles and Fields", Bjørn Felsager, Odense University Press 1981. ISBN 87 7492 358 7.

Fra Complexity, Entropy and the Physics of Information, Edited by Woiciech H. Zurek, Santa Fe Institute and Los Alamos National Laboratory, Volume VIII, ISBN 0-201-51506-7, Addison-Wesley 1991.

 

Indhold
Kvantemekanik i lyset af kvantekosmologi :Én sti: Kosmogoniens dikotomi
Kvantekosmologi og skabelsen af universet
Index